link5772 link5773 link5774 link5775 link5776 link5777 link5778 link5779 link5780 link5781 link5782 link5783 link5784 link5785 link5786 link5787 link5788 link5789 link5790 link5791 link5792 link5793 link5794 link5795 link5796 link5797 link5798 link5799 link5800 link5801 link5802 link5803 link5804 link5805 link5806 link5807 link5808 link5809 link5810 link5811 link5812 link5813 link5814 link5815 link5816 link5817 link5818 link5819 link5820 link5821 link5822 link5823 link5824 link5825 link5826 link5827 link5828 link5829 link5830 link5831 link5832 link5833 link5834 link5835 link5836 link5837 link5838 link5839 link5840 link5841 link5842 link5843 link5844 link5845 link5846 link5847 link5848 link5849 link5850 link5851 link5852 link5853 link5854 link5855 link5856 link5857 link5858 link5859 link5860 link5861 link5862 link5863 link5864 link5865 link5866 link5867 link5868 link5869 link5870 link5871 link5872 link5873 link5874 link5875 link5876 link5877 link5878 link5879 link5880 link5881 link5882 link5883 link5884 link5885 link5886 link5887 link5888 link5889 link5890 link5891 link5892 link5893 link5894 link5895 link5896 link5897 link5898 link5899 link5900 link5901 link5902 link5903 link5904 link5905 link5906 link5907 link5908 link5909 link5910 link5911 link5912 link5913 link5914 link5915 link5916 link5917 link5918 link5919

Лекции по системному анализу в чрезвычайных ситуациях. Часть 4

2.2. Взвешенные графы

clip_image005

Свойства взвешенного орграфа весьма чувствительны к весам, которые присваиваются дугам. Поэтому значение весов следует устанавливать с возможно большей точностью.

clip_image006Определение весов дуг орграфа. может быть проведено так же, как и знаков, на основе логики и экспертных оценок. В случае, когда имеется статистическая информация, весовые коэффициенты могут быть установлены на основе обработки этой информации. Поскольку наблюдаемые изменения показателей происходят одновременно под действием всей совокупности взаимосвязей, то следует провести разделение изменения показателя под действием каждой, отдельно действующей на него, дуги. Иначе говоря, надо обеспечить определение весовых коэффициентов в соответствии с принципом "при прочих равных условиях". Для этого надо решить оптимизационную задачу обработки статистических данных.

Если известно N значений изменений показателей Xj в системе и эти изменения происходят практически мгновенно, то исходя из известной статистической информации, представленной в табл. 1 для фрагмента орграфа (рис. 4), следует решить задачу:

clip_image008,

где clip_image010 — l-е приращение значения j-го показателя при l-м приращении значения i-го показателя clip_image012, воздействующего на исследуемый показатель Xj ; clip_image014, N-1; clip_image016

Табл. 1. Статистическая информация для расчета весовых коэффициентов

Показатели

Значения показателей для наблюдений

l=1

l=2

l=3

l=N

Исследуемый

показатель Xj

Xj1

Xj2

Xj3

XjN

Воздействующие показатели

Y1

Y11

Y12

Y13

Y1N

Y2

Y21

Y22

Y23

Y2N

Ym

Ym1

Ym2

Ym3

YmN

Приведенная оптимизационная задача — минимизация суммы квадрата разности действительного значения показателя и его расчетного значения, получаемого на базе суммы произведений значений влияющих на него показателей и весовых коэффициентов. Данный подход — применение метода наименьших квадратов для расчета весовых коэффициентов орграфа. Его реализация проста: достаточно найти частные производные минимизируемой функции по искомым весовым коэффициентам, приравнять их к нулю и решить полученную систему линейных уравнений. В случае, если т = 1 коэффициент определяется по формуле (для простоты записи индекс j для исследуемого показателя далее опускается):

clip_image018,

если же т = 2, то требуется решить линейную систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

clip_image019

a1clip_image021y1l2 +a2clip_image022y1l×y2l = а1clip_image023xl y1l

a1clip_image024y1l ∆y2l+a2clip_image024[1]∆y2l2 = clip_image024[2]xl∆y2l

В случаях, когда статистическая информация отсутствует, весовые коэффициенты можно определить на основе экспертных оценок, отдавая себе отчет в том, что точность модели в этом случае существенно ниже.

Для примера рассмотрим орграф модели рыночного механизма установления цен и выпуска продукции (рис. 5). Орграф имеет контуры 1-2-1, 1-3-4-1, 1-2-3-4-1.

Из теории графов известно, что контуры могут как усиливать в конечном итоге отклонения переменных (контуры положительной обратной связи), так и уменьшать их (контуры отрицательной обратной связи). Контур усиливает отклонение тогда, и только тогда, когда он содержит четное число отрицательных дуг. Контур противодействует отклонению тогда и только тогда, когда он содержит нечетное число отрицательных дуг.

Если большинство контуров составляют контуры, усиливающие отклонение, то начальные изменения могут превышать изменения в результате их непосредственного воздействия. таким образом, наличие многих контуров, усиливающих отклонение, предполагает неустойчивость.

clip_image025

Рис. 5

Вы здесь: Главная БЖД и Охрана труда Чрезвычайные ситуации Лекции по системному анализу в чрезвычайных ситуациях. Часть 4