Лекции для студентов

Лекции по системному анализу в чрезвычайных ситуациях. Часть 4

3. Моделирование процесса с помощью сети GERT

Моделируемый процесс протекает следующим образом.

Вначале реализуется связь 12, после чего осуществляется воздействие по одной из выходных дуг: 23 или 22 узла №2. После двух реализаций связи 23 открывается узел №3 и процесс может пойти по одному из трех возможных направлений.

Если реализуется условие 34, то он будет завершен, а, если 35, то реализуется событие 5 и, затем, после осуществления воздействия 56 — событие 6.

Если реализуется выход 32, процесс возобновится с момента осуществления связей 23 и 22, однако его предыстория будет зафиксирована узлами — метками №2, №3 и №5 и узлами-стоками №4 и №6.

Для определения вероятности наступления конкретного события сети — Q, математического ожидания — M[Т] и дисперсии времени до его появления — D[T]), обычно проводят упрощение исходной модели, путем объединения последовательных, параллельных и замкнутых контуров единственную ветвь с эквивалентными исходными параметрами P_ij, M_ij (S) и их преобразованием W_ij(S). Значение функции W_ij(S), иногда называемой коэффициентом пропускания или операто­ром динамической системы [22], рассчитывается с соблюдением сле­дующих правил[105]:

а) для последовательно соединенных узлов i, j, k:

 

W_ik^*(k)=W_ij(S)×W_jk(S) (1)

б) для параллельных ветвей между узлами 1-2 и 3-4, условно объеди­ненных в один главный исток под номером i = (1 Ç 3) и один главный сток k = (2 Ç 4).

W_ik^*(k)=W₁₂(S)×W₃₄(S) (2)

в) для сочетания одной дуги i-k с собственной (вырожденной, первого порядка) петлей i-I 

 

(3)

г) для петли т-го порядка — множества из т не связанных между собой замкнутых ветвей первого порядка

(4)

Заметим, что правила преобразования сетей, помеченные бук­вами (а...г), справедливы лишь для так называемых замкнутых стоха­стических связей, т.е. таких, для которых существует обратная связь между главным или каким-то другим стоком и главным истоком. В тех же случаях, когда рассматриваются разомкнутые функциональные сети стохастической структуры, такие, например, как приведенная выше, для использования этих правил необходимо проводить их искусственное замыкание дугой с подобранным специальным обра­зом коэффициентом пропускания W_A(S).

Процедура такой модификации исходной сети и определения значения ее функции W_E(s) основана на использовании топологиче­ского уравнения С.Мэсона[105, 109], имеющего следующий вид:

(5)

где - сумма коэффициентов пропускания i-ых петель сети.

Последовательность определения функции W_E(S) для разомкну­той (оригинальной) стохастической сети по формуле (5), с учетом вышеизложенного включает такие основные шаги:

1. Замыкание главного или другого стока конкретной сети — одного из возможных исходов рассматриваемого процесса с главным ее истоком (начальным событием) и присвоение этой обратной связи коэффициен­та пропускания W_A(S).

2. Определение значения искомого коэффициента пропускания разо­мкнутой стохастической сети — W_E(S) с помощью аналогичного пара­метра ранее введенной обратной связи — W_A(S) и формул (4), (5).

3. Выявление всех возможных (включая и введенную искусственно связь) петель и вычисление их эквивалентных коэффициентов пропус­кания — W^*(L_i).

4. Подстановка значений W^*(L_i) и W_E(S) =f[W_A(S)] в топологиче­ское уравнение (5), уточнение знаков слагаемых и разрешение его относительно искомой нами функции W_E(S).

 

Проиллюстрируем рассмотренный порядок анализа сто­хастических сетей для случая определения таких характеристик, как математиче­ское ожидание и дисперсия величины, например, времени, необходимого для реа­лизации конкретного исхода, а также вероятность его возникновения. В качестве модели рассмотрим уже знакомую сеть типа GERT (см. рис. 2), а затем исследуем процесс возникновения конкретного транспортного происшествия — железнодо­рожного крушения.

Очевидно, что рассматриваемые процессы могут интерпретироваться в виде прохождения сигнала по узлам и дугам соответствующей сети. имеющей в своем составе последовательные, параллельные, а иногда и замкнутые сочетания ориентированных ветвей. Следовательно, вероятность появления интересующих нас исходов, а также математическое ожидание величины времени до их возник­новения — М[Т] и его дисперсия D[T] будут зависеть от структуры сети и про­пускных способностей ее элементов, характеризуемых параметрами t_ij и P_ij или однозначно связанной с ними функцией.

Рис. 3. Модифицированная сеть GERT