link1184 link1185 link1186 link1187 link1188 link1189 link1190 link1191 link1192 link1193 link1194 link1195 link1196 link1197 link1198 link1199 link1200 link1201 link1202 link1203 link1204 link1205 link1206 link1207 link1208 link1209 link1210 link1211 link1212 link1213 link1214 link1215 link1216 link1217 link1218 link1219 link1220 link1221 link1222 link1223 link1224 link1225 link1226 link1227 link1228 link1229 link1230 link1231 link1232 link1233 link1234 link1235 link1236 link1237 link1238 link1239 link1240 link1241 link1242 link1243 link1244 link1245 link1246 link1247 link1248 link1249 link1250 link1251 link1252 link1253 link1254 link1255 link1256 link1257 link1258 link1259 link1260 link1261 link1262 link1263 link1264 link1265 link1266 link1267 link1268 link1269 link1270 link1271 link1272 link1273 link1274 link1275 link1276 link1277 link1278 link1279 link1280 link1281 link1282 link1283 link1284 link1285 link1286 link1287 link1288 link1289 link1290 link1291 link1292 link1293 link1294 link1295 link1296 link1297 link1298 link1299 link1300 link1301 link1302 link1303 link1304 link1305 link1306 link1307 link1308 link1309 link1310 link1311 link1312 link1313 link1314 link1315 link1316 link1317 link1318 link1319 link1320 link1321 link1322 link1323 link1324 link1325 link1326 link1327 link1328 link1329 link1330 link1331

Лекция по автоматике

Операторная форма записи дифференциального уравнения. Передаточная функция.

Динамика функциональных элементов и систем управления описывается дифференциальным уравнением, которое в общем виде можно записать как

clip_image054         1.15


Необходимо, чтобы n >m, для работы системы. Описание существенно упрощается если от дифференциального уравнения перейти к операторной форме. Для этого необходимо операцию дифференцирования заменить на оператор дифференцирования

clip_image056


р1 — оператор дифференцирования

В результате такой замены мы получили алгебраическое уравнение

clip_image058             1.16


Если в уравнении (1.15) вместо функции времени у(t) и х(t) ввести функции х(р) и у(р) комплексного переменного р=α±jβ , поставив условием что записанные функции связаны отношением

clip_image060                                                      1.17


то оказывается что дифференциальное уравнение, содержащие х(t) и у(t) равносильно алгебраическому уравнению вида

clip_image062      1.18


Следует отметить, что трансформация дифференциального уравнения в представленное алгебраическое возможно только при нулевых начальных условиях. И это преобразование в математике называют преобразованием Лапласа. Функции х(р) и у(р) называют изображениями функций х(t) и у(t), а сами функции х(t) и у(t) называют оригиналами функций х(р) и у(р).

Переход от искомой функции у(t) к изображению у(р) называют прямым преобразованием Лапласа, и обозначают

clip_image064                                                                    1.19


Переход же от изображения у(р) к оригиналу у(t) называют обратным преобразованием Лапласа

clip_image066                                                                 1.20


Из сравнения уравнений (1.18) и (1.16) видно, что обе формы записи совпадают, из чего следует, что оператор дифференцирования отождествляется с комплексной переменной р при нулевых начальных условиях.

Использование операторной формы представления уравнений позволяет избежать решения дифференциальных уравнений путем решения системы алгебраических уравнений. Нахождение оригиналов по изображениям можно провести используя либо справочные таблицы, либо формулу разложения.

Взяв за основу формулу (1.18) можно найти отношение

clip_image068                          1.21


Передаточной функцией W(р) называют отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях.

Из уравнения (1.21) можно записать

clip_image070                                                               1.22

Многочлен, фигурирующий в знаменателе передаточной функции называется характеристическим многочленом, а в случае приравнивания его у нулю уравнение называется характеристическим.

clip_image072                                            1.23


Корни характеристического уравнения называют полюсами передаточной функции. Корни многочлена, расположенного в числителе передаточной функции, называют нулями передаточной функции.