Лекции для студентов

Физика полупроводников. Лекция 1

§5. Обратная решетка кристалла и ее ячейка Вигнерра — Зейтца. Зоны Бриллюэна кристалла.

Для каждой прямой решетки кристалла можно построить ей обратную. Обратные решетки широко используются в зонной теории твердых тел при описании движения электронов проводимости и фотонов. Пусть прямая решетки кристалла характеризуется базисными векторами и собственными векторами . Обозначим через базисные вектора обратной решетки кристалла. Свяжем базисные вектора прямой и обратной решетки кристалла условием, что скалярное произведение:

; (1)

Условию (1) удовлетворяет следующие вектора:

;

; (2)

.

Видно что, , , , значит , , также и , т.е. перпендикулярна двум базисным векторам прямой решетки, индексы которых отличаются от j. Видно, что тройка векторов образуют правовинтовые системы, если и . На основе векторов построим бесконечную совокупность векторов (3); где , т.е. представляют собой целочисленную комбинацию векторов , они имеют размерность что и базисные вектора, а базисные вектора имеют размерность обратную длине, иными словами лежат в обратном пространстве. Будем откладывать с какой-нибудь точки — вектора Концы таких векторов образуют узлы обратной решетки, а совокупность узлов есть обратная решетка кристалла. Если назывались собственными векторами прямой решетки, то являются собственными векторами обратной решетки. Ячейка построенная на базисных векторах называется элементарной ячейкой обратной решетки, ее объем равен .

Бесконечным повторением в обратном пространстве элементарной ячейки можно получить всю бесконечную обратную решетку. На одну элементарную ячейку приходится один узел, следовательно число ячеек образующих обратную решетку равно числу ее узлов. ; . Элементарную ячейку обратной решетки можно получить иначе. Для этого возьмем какой-нибудь узел (Г) обратной решетки за начало отсчета. Проведем из этого узла (Г) прямые линии в ближайшие соседние узлы через середины этих перпендикулярно к ним проведем плоскости. Многогранник, полученный в результате пересечения плоскостей называется ячейкой Вигнера-Зейца. Возле каждого узла обратной решетки можно построить такую ячейку, при этом исходя из условия построения ячейки Вигнера-Зейца они не будут пересекаться и заполнят весь объем обратного пространства. Следовательно, объем ячейки Вигнера-Зейца равен объему параллелепипеда построенного на векторах . Ячейка Вигнера-Зейца повторяет симметрию обратной решетки, в то время как параллелепипед, построенный на векторах не обладает симметрией обратной решетки.

Заштрихована элементарная ячейка обратной решетки.

Видно, что обратная решетка имеет ось симметрии 6-го порядка. С другой стороны как видно ячейка Вигнера-Зейца представляет собой правильный шести угольник. В то время как элементарная ячейка построенная на векторах не обладает такой симметрией. Будем обозначать вектора, проводимые из центра ячейки Вигнера-Зейца в любую ячейку через , они имеют размерность обратную длине. Два вектора и будем называть взаимно эквивалентными, если они отличаются друг от друга на какой-нибудь собственный вектор обратной решетки, т.е. если . По условию построения ячейки Вигнера-Зейца внутри нее нет взаимно эквивалентных векторов . Эквивалентные вектора имеются только на границе ячейки Вигнера-Зейца:

; ; .

Любые два вектора принадлежащие ячейке Вигнера-Зейца отличаются друг от друга не более чем на вектор , таким образом, внутри себя ячейка Вигнера-Зейца содержит бесконечную совокупность неэквивалентных векторов. Совокупность неэквивалентных векторов образуют в обратном пространстве область, которая называется первой зоной Бриллюэна. Следовательно, первая зона Бриллюэна совпадает с ячейкой Вигнера-Зейца обратной решетки. Значит, первой зоне Бриллюэна принадлежат вектора , которые короче всех эквивалентных векторов обратного пространства.

Докажем, что первой зоне Бриллюэна принадлежат вектора , которые удовлетворяют неравенству: , .

Доказательство: Исходя из построений ячейки Вигнера-Зейца, должно выполняться следующие неравенство:

(1)

где модуль проекции вектора : ,  — модуль проекции вектора ,  — собственные вектора проведенные в ближайшие к Г узлы. Очевидно (1) не измениться, если его правую часть умножить на модуль , тогда получаем:

(2)

(3)

(4)

Для выполнения неравенства (3) в ряду мы должны взять целое наименьшее число больше 0, то есть +1, тогда (3) примет вид:

(4) (5)

Если из точки Г провести прямые линии в следующие за ближайшими узлами узлы и через середины их провести перпендикулярные плоскости, то получим многогранник, если из него вычесть объем первой зоны Бриллюэна, то оставшийся объем образует вторую зону Бриллюэна и т.д. Для примера рассмотрим кристалл с плоской квадратной решеткой: а₁ = а₂ = а; . Базисные вектора обратной решетки есть , и , значит обратная решетка плоской квадратной решетки является тоже квадратной.