Лекции для студентов

Кривые зависимости для различных энергетических зон отличаются друг от друга, но энергия в каждой зоне n является четной функцией волнового вектора , т.е. . Действительно, рассмотрим одноэлектронное уравнение Шредингера для связанного электрона в кристалле.

(1)

, ,  — функция Блоха.

Наряду с уравнением (1) рассмотрим комплексно сопряженное уравнение Шредингера:

(2)

Так как и является вещественными, то знаки комплексного сопряжения можно опустить, тогда (2) принимает вид:

(3)

Функция входящая в (3) является Блоховской, потому что ей соответствует оператор , инвариантный относительно трансляции на собственные вектора

, (4)

Значит, Блоховской функции соответствует волновой вектор . Сравнивая уравнения (1) и (3) приходим к выводу, что , т.е. энергия в каждой n зоне является четной функцией волнового вектора или иными словами, каждая энергетическая зона кристалла обладает инверсионной симметрией относительно точки Г, центра первой зоны Бриллюэна. .

Следовательно, приведенный на рисунке §7 энергетический спектр электронов кристалла обладает зеркальной симметрией относительно оси ординат. Нами показано в §6, что энергия электронов в каждой зоне является периодической функцией с периодом обратной решетки:

(5)

Для одномерного кристалла период обратной решетки равен . При этом обратная решетка является одномерной

(6)

Пунктирными линиями на рисунке §7 отражен факт периодичности энергий в обратном пространстве решетки. В связи с периодичностью функции , соотношение (5), нет необходимости изображать все зоны Бриллюэна, а можно использовать только первую зону Бриллюэна, в которой приведены кривые , … В этом случае первая зона Бриллюэна получает название приведенной зоны Бриллюэна. Используя приведенную зону Бриллюэна можно получить всю энергетику кристалла. В этом случае энергетический спектр кристалла будет качественно выглядеть так, как показано на рисунке.