Лекции для студентов

Как известно энергия электронов во всех разрешенных зонах полупроводника есть функция волнового вектора из первой зоны Бриллюэна. Зависимость называется законом дисперсии. По существу эта зависимость от длины волны . Дисперсионные кривые валентной зоны и зоны проводимости являются важнейшими характеристиками полупроводника. При этом важно знать зависимость не во всей зоне Бриллюэна, а только в небольшой ее части, вблизи абсолютных экстремумов зоны проводимости и валентной зоны, т.е. вблизи дна зоны проводимости и потолка валентной зоны.

В любой зоне характер зависимости вблизи точки экстремума определяется формой изоэнергетической поверхности. Эта такая поверхность, которая проведена через концы волновых векторов зоны Бриллюэна, которым соответствует заданная энергия . В любой зоне является четной функцией волнового вектора , значит, любые изоэнергетические поверхности имеют центр симметрии. Аналитическую форму изоэнергетической поверхности можно получить следующим образом. Пусть экстремум невырожденной зоны лежит в точке зоны Бриллюэна. Разложим в ряд Тейлора вблизи окрестности точки , приведя разложение к главным осям X, Y, Z. При этом

.

Ограничимся первыми тремя членами, тогда

(1)

(2)

 — уравнение изоэнергетической поверхности. Тогда из (2) получаем уравнение изоэнергетической поверхности:

(3)

(3) — уравнения эллипсоида с центром в точке .

Компоненты могут быть связанны условием симметричности изоэнергетической поверхности. Для примера рассмотрим кубические кристаллы типа A₂B₆, A₃B₅, кристаллы типа алмаза. Абсолютный минимум кристалла типа сфалерита лежит в точке , т.е. в центре зоны Бриллюэна, тогда (3) равно:

(4)

С вектором связаны три оси четвертого порядка зоны Бриллюэна (усеченный октаэдр). С осями симметрии четвертого порядка связаны повороты на 90⁰, 180⁰, 270⁰, 380⁰. При этих поворотах вектор остается неизменным. Повороты вокруг этих осей совмещают кристаллическую решетку саму с собой, следовательно, и физические свойства, а также уравнения описывающие эти свойства остаются инвариантными относительно этих преобразований, т.е. уравнения описывающие изоэнергетические поверхности должны оставаться неизменными при этих преобразованиях.

Для примера совершим поворот вокруг оси на 90⁰: , (4) примет вид:

(5)

Но (4) и (5) одинаковы, тогда . Совершим поворот вокруг оси на 90⁰: , следовательно, все компоненты равны: , тогда соотношение (5) примет вид:

(6)

Значит эффективная масса изотропная величина. Тогда закон дисперсии:

(7)

Закон дисперсии параболический. На сфере будут лежать волновые вектора с одинаковыми значениями модуля эффективной массы. В этом случае характеризуется четырьмя компонентами, т.е. она изотропна (эффективная масса такого экстремума сферическая).

Кристаллы с кубической решеткой типа алмаза: германий и кремний не прямозонные полупроводники. У них минимум зоны проводимости и максимум валентной зоны находятся в разных точках зоны Бриллюэна. Зона Бриллюэна у них тоже усеченный октаэдр. Например, у кристаллов кремния максимум валентной зоны находится в центре зоны Бриллюэна, а минимум зоны проводимости на оси , которая совпадает с осью симметрии четвертого порядка (смотри рисунок). Минимум зоны проводимости лежит на линии , на расстоянии от начала координат, т.е. модуль вектора . Вектор связан только с одной осью симметрии четвертого порядка, например на рисунке вектор связан только с осью симметрии . Произведем поворот вокруг оси и получим, что , .

В этом случае мы не имеем право вращать вокруг оси и как в предыдущем случае, потому что вектор принадлежит только одной оси, тогда уравнение (5) приобретает вид:

(8)

Видно, что изоэнергетическая поверхность является эллипсоидом вращения с осью .  — поперечная компонента эффективной массы электронов,  — продольная компонента эффективной массы электронов. Значит, у кристаллов кремния абсолютный экстремум зоны проводимости характеризуется двумя компонентами эффективной массы: