Лекции для студентов

Лекция по системному анализу в чрезвычайных ситуациях. Часть 3

Общие свойства

 1. Общие свойства моделей

1.1. Линейность и нелинейность

1.2. Непрерывность и дискретность

1.3. Детерминированность или стохастичность

1.4. Стационарность и нестационарность

2. Модели с управлением

3. Имитационные модели

1. Общие свойства моделей

Рассмотрим, как отражаются в кортежной записи ММ, рассмотренной на прошлой лекции, основные общие свойства системы.

1.1. Линейность и нелинейность.

Первое такое свойство (1) — линейность или нелинейность. Оно обычно расшифровывается как линейная (нелинейная) зависимость от входов операторов S (линейность или нелинейность параметров состояния) или V (линейность или нелинейность модели в целом). Линейность может являться как естественным, хорошо соответствующим природе, так и искусственным (вводимым для целей упрощения) свойством модели.

 1.2 Непрерывность и дискретность

Второе общее свойство модели (2) — непрерывность или дискретность. Оно выражается в структуре множеств (совокупностей), которым принадлежат параметры состояния, параметр процесса и выходы системы. Таким образом, дискретность множеств Y, X^- ведет к модели, называемой дискретной, а их непрерывность — к модели с непрерывными свойствами. Дискретность входов (импульсы внешних сил, ступенчатость воздействия и др.). В общем случае не ведет к дискретности модели в целом. Важной характеристикой дискретной модели является конечность или бесконечность числа состояния системы и числа значений выходных характеристик. В первом случае модель называется дискретной конечной. Дискретность модели также может быть как естественным условием (система скачкообразно меняет свое состояние и выходные свойства), так и искусственно внесенной особенностью. Например, замена непрерывной математической функции — на набор значений в фиксированных точках. (Пример: метод конечных разностей, МКЭ, расчет оболочки).

1.2 Детерминированность и стохастичность

Следующее свойство модели (3) — детерминированность или стохастичность. Если в модели среди величин х⁺, a, y, x^- имеют случайные, т.е. определяемые лишь некоторыми вероятностными характеристиками, то модель называется стохастической (вероятностной, случайной). В этом случае и все результаты, полученные при рассмотрении модели, имеют стохастический характер и должны быть соответственно интерпретированы (см. обсуждение принципа неопределенности в п. 1.2.2). Здесь подчеркнем, что с точки зрения практики граница между детерминированными и стохастическими моделями выглядит расплывчатой. Так, в технике про любой размер или массу можно сказать, что это не точное значение, а усредненная величина типа математического ожидания, в связи с чем и результаты вычислений будут представлять собой лишь математические ожидания исследуемых величин. Однако такой взгляд представляется крайним. Удобный практический прием состоит в том, что при малых отклонениях от фиксированных значений модель считается детерминированной, а отклонение результата исследуется методами оценок или анализа ее чувствительности. При значительных же отклонениях применяется методика стохастического исследования.

1.4 Стационарность и нестационарность

Четвертое общее свойство модели (4) — ее стационарность и нестационарность. Сначала рассмотрим понятие стационарности некоторого правила (процесса). Пусть в рассматриваемом правиле присутствует параметр процесса, которым для удобства понимания будем считать время. Возьмем все внешние условия изменения данного правила одинаковыми, но в первом случае применяем правило в момент t₀, а во втором — в момент t⁰ + Q. Спрашивается, будет ли результат применения правила одинаковым? Ответ на этот вопрос и определяет стационарность: результат одинаков, то правило (процесс) считается стационарным, а если различен — нестационарным. Если все правила в модели стационарны, то стационарной называется и сама модель. Чаще всего стационарность выражается в неизменности во времени некоторых физических величин: стационарным является поток жидкости с постоянной скоростью, стационарна механическая система, в которой силы зависят только от координат и не зависят от времени.

Для отражения стационарности в формальной записи рассмотрим расширенный вид правила S, в которое введена зависимость от начальных условий процесса t₀, y₀ и зависимость входов от параметра t:

y = S(x⁺ (t), a, t, t₀, y₀).

Тогда для стационарного процесса имеет место равенство

S(x⁺(t+q), a, i + q, t₀ + q, y₀) = S(x⁺(t), a, t, t₀, y₀).

Аналогично можно определить стационарность правил V и V.

Можно говорить также и пятом общем свойстве моделей. Это конечность или бесконечность числа входов, выходов, параметров состояния, постоянных параметров системы. Теоретически рассматриваются оба типа, но на практике работают лишь с конечномерными (конечными) моделями.

2. модели с управлением

Если в формальную запись модели Σ : {x⁺, x^-, a, y, t, V, V} включить правило перехода S^u, которое позволяет выбором управления и из некоторой фиксированной совокупности U достигать значения параметра состояния y_G, которое, в свою очередь, обеспечивает получение управляемых выходных воздействий f в виде f_G, соответствующим выполнению цели G, то мы получим так называемую модель с управлением, кортежная запись которой

Σ^u : {x⁺, x^-,f_G, a,u, t , y,S^u, V, V},

x⁺ÎX⁺, x^- Î X^-, aÎA, uÎU, t ÎT, y ÎY.

Составляющая U указывает на те величины, объекты, которыми мы можем распоряжаться для выполнения цели G.

Отметить: здесь составляющая f_G и есть сама цель G, записанная в виде требований на выходы модели.

Возникает вопрос: как превратить неуправляемую модель в управляемую? Для этого управления надо выделить из составляющих кортежа Σ : {x⁺, x^-, a, y, t, V, V}. Такими составляющими являются:

Во-первых, входы x⁺; часть из них может стать управляемыми, контролируемыми (например, возможность выбора части сил, действующих на систему, посылки управляющих сигналов, допущение альтернативных решений):

Во вторых, параметры системы а, что особенно типично для процесса проектирования; при этом мы можем выбирать размеры тел, массы, материал и, тем самым, создавать систему с нужными свойствами.

Важно отметить следующее: в числе управлений, выделяемых из параметров а могут быть и такие, которые описывают структуру системы. Их выбор будет означать изменение структуры с целью достижения заданного свойства системы.

Выбор структуры — весьма актуальная на практике, но, к сожалению, плохо формализуемая операция. Поясним это на примере. Пусть мы проектируем конструкцию, на которую ставится некий прибор. Выберем стержневую форму конструкции — фиксируем число стержней и их расположение (т.е. выберем структуру). Поставим задачу о выборе параметров стержней неким образом, чтобы, скажем, минимизировать вес конструкции при заданной прочности. Это — управление при заданной структуре. Но ведь мы сами себя ограничили формой конструкции. Возьмем теперь другое расположение стержней или допустим использование пластин. Весьма вероятно, что здесь удастся добиться еще меньшего веса. Мы стали управлять путем выбора структуры. Отметим, что в данном конкретном случае и, к сожалению, в целом практически не существует методов, которые позволили бы осмысленно перебирать структуры из достаточно широкого класса. Как правило, указанные задачи решаются привлечением эвристических операций.

О пользе кортежной записи модели. Рассмотрев кортежную запись модели, а также различные свойства моделей на основании такой записи, мы можем сделать вывод, что уточнение математического вида совокупностей (множеств) x⁺, x^-, a, y, t, U и отнесение правил S, V, V к определенным операторам и функциям приводят к строгой математической трактовке записей Σ : {x⁺, x^-, a, y, t, V, V} и Σ^u : {x⁺, x^-,f_G, a,u, t , y,S^u, V, V} превращает эти модели в модели высокого уровня.

Разбор конкретной модели с помощью кортежей состоит в отнесении различных величин, объектов, понятий к приведенным составляющим кортежей и оказывается эффективным средством уяснения «внутренности» системы, составления и коррекции ее модели, выявления важнейших сторон моделирования.

Продумывание списков существенных входов, выходов, процессов, параметров в системе позволяет выявить избыточность или недостаточность этих компонент модели, учитывать не принимавшиеся ранее во внимание обстоятельства и, тем самым, решать проблему обеспечения адекватности модели реальной системе.