Лекции для студентов

Лекция по системному анализу в чрезвычайных ситуациях. Часть 3

Тема  2.2.3: Формальная запись и общие свойства

1. Уровни общности и абстрактности математических моделей

2. Формальная запись модели.

1. Уровни общности и абстрактности математических моделей

Ранее уже говорилось о сложной структуре задач математического моделирования. Практически всегда создаются и разрабатываются общие модели, описывающие классы по крайней мере близких однотипных систем. Но уровни их общности различны. Можно создать модель давления коленчатого вала на поддерживающие его подшипники, ограничившиеся при этом силовыми и геометрическими характеристиками, типичными, скажем, для автомобильных двигателей. Но можно рассмотреть модель реакций вращающегося твердого тела — две модели будут очень близки, но, естественно, различны по уровню общности. Первую из них есть смысл рассматривать, если в ней учтены особенности, характеризующие именно дальний узкий класс систем.

Наибольший интерес представляют общие модели с достаточно высоким уровнем абстракции. Такие модели могут самостоятельно изучаться, анализироваться, дополняться доказанными свойствами и утверждениями. Сведения, полученные при теоретическом рассмотрении, будут применимы ко всем конкретным системам, содержащимся в них. Эти уровни общности и абстракции могут образовывать целые иерархические структуры, в которых переход к конкретной модели будет проходить в несколько этапов («спуск» ко все более и более частному).

Особенно широко распространено и известно исследование абстрактных математических моделей. Типичными с точки зрения практики являются модели в виде наборов формул, систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений, дискретных переходов, статистических описаний, аппроксимирующих представлений, описания игровых ситуаций и т.д. Можно говорить о ряде общих моделей в химии, физике, биологии, экологии.

Возвращаясь к превращению общей модели в конкретную, которое достигается наполнением ее информацией, отметим, что тот процесс не всегда прост, особенно при использовании неоднородной и объемной информации. Одновременно он настолько важен и ответствен, что ведет к самостоятельному исследованию понятий удобного хранения, выдачи и подготовки информации непосредственному использованию. В настоящий момент эти исследования образуют отдельную, ориентированную на ЭВМ область знания, называемую организацией банков (баз) данных (знаний).

Взаимоотношения этой новой области с системным анализом будут рассмотрены в главе 4, однако и до этого нам понадобится ряд новых понятий. Поэтому укажем, что данными обычно называют числовой и словесный (говорят также: фактографический) материал, который сам по себе не несет смысловой нагрузки. В противовес этому знаниями называют смысловой материал типа программных средств, методик, указаний, описания моделей.

 2. формальная запись модели

1.3.3. Формальная запись модели. Эта запись традиционно занимает существенное место в общей теории систем, но понятна также и для анализа конкретной модели.

Сначала обозначим:

- набор входных воздействий (входов) в системе — х⁺ и их допустимую совокупность — Х⁺, х⁺ÎХ⁺;

- набор выходных воздействий (выходов) в системе — всю их возможную совокупность — Х^-, х^-ÎХ^-;

- набор параметров, характеризующих свойства систем постоянные вр все время рассмотрения, и влияющих на выходные воздействия системы, — а и всю их допустимую совокупность — А, аÎА;

- набор параметров, характеризующих свойства системы, меняющиеся во время ее рассмотрения (параметры состояния), — у и всю их допустимую совокупность — Y, y ÎY;

- параметр (или параметры) процесса в системе п. 1.1.4) — t и всю их допустимую совокупность — Т, tÎT;

- правило S (функция, оператор) определения параметра состояния системы по входам х⁺, постоянным параметрам и параметру процесса t. Заметим, что мы всегда будем различать величины и правило их определения. Здесь запись y = S(x⁺, a, t) означает нахождение параметров по этому правилу, в то время как о величине у можно говорить и вне правила ее определения;

- правило V (функция, оператор) определения выходных характеристик системы по входам x⁺, постоянным параметрам, параметру процесса t и параметрам состояния у, т.е. x^- = V(x⁺, a, t, y);

- правило W (функция, оператор) определения выходов характеристик системы по входам х⁺, постоянным параметра и параметру процесса t. Указанное правило V может быть получено подстановкой правила S в правило V, что дает исключение из него параметров состояния: x^- = V(x⁺, a, t).

На основе введения вышеуказанных воздействий, параметров и правил модель может быть записана как кортеж

Σ : {x⁺, x^-, a, t, y, S, V, V} 

x⁺ÎX⁺, x^- Î X^-, aÎA, t ÎT, y ÎY.

Поясним определение модели на ряде примеров.

Сначала рассмотрим упрощенную схему работы дизельного двигателя. В этом случае имеем:

- входы (внешние воздействия): своевременная подача в меру сгорания газовой смеси определенного состава; внешний момент (нагрузка) в точке вывода мощности;

- выход: мощность двигателя;

- неизменяемые параметры системы: объем камеры сгорания, число и расположение цилиндров, степень сжатия; размеры и жесткость поршней, шатунов, коленвала, маховика и их частей силового механизма;

- параметр процесса: время или угол поворота коленвала;

- параметры состояния: температура и давление в камере сгорания; скорости (ускорения) движущихся частей, силы трения в двигателе;

- правило S (уравнения состояния): термодинамические уравнения, описывающие процесс сгорания газовой смеси, и механические уравнения, описывающие движение частей силового механизма;

- правило V: запись мощности двигателя в виде функции скоростей движения частей силового механизма и внешнего коэффициента; она равна произведению угловой скорости коленвала внешнего момента;

- правило V: запись мощности в виде функции от скорости подачи газовой смеси, ее состава и внешнего момента (нагрузки).

II пример.

Во втором, математическом примере рассмотрим в качестве цели систему дифференциальных уравнений решаемую для различных начальных условий и различных правых частей.

В этом случае имеем:

- входы: начальные условия, вектор правых частей f(t), значение t₁, до которого необходимо интегрировать систему;

- выход: значение y(t₁) = y₁;

- неизменные параметры системы: матрица А;

- параметры состояния: вектор y;

- параметр процесса — t;

- правило S: решение дифференциального уравнения в зависимости от начальных условий, констант, правых частей и аргумента; y = y (t₀,, y₀,,A, f(t), t);

- правило V: подстановка в решение дифференциального уравнения значения t₁; y₁ = y\_{t=t 1} ;

- правило V: зависимость y₁ = y(t₀,, y₀,, A, f(t), t₁).

III пример.

Третий пример информационный. Рассмотрим модель длительности переработки человеком текста в резюме. В этом случае:

- входы: объем текста, численная оценка его сложности;

- выход: длительность i составления резюме;

- неизменяемые параметры здесь будут соответствовать способностям данного человека: скорость осмысленного чтения текста и число повторных чтений в зависимости от его сложности усредненное число переделок резюме;

- параметры состояния определяют объем проделанной работы на данный момент t: объем изученного текста, объем составленной части резюме, оставшееся число переделок резюме;

- параметр процесса: стадия работы или время;

- правило S: зависимость объема проделанной работы, объема и сложности текста, способностей человека, времени;

- правило V: зависимость величины i от объема проделанной работы;

- привило V: зависимость величины i от объема текста, сложности и способностей данного человека.

Восемь рассмотренных составляющих кортежа не являются универсальными и обязательными. Это просто наиболее удобные на практике составляющие. Их может быть как больше (см., например, ниже системы управлением), так и меньше. Минимальное число составляющих имеет модель «черного ящика»:

Σ : {x⁺, x^--, V},

где х^- = V(x⁺).

Введение в рассмотрение «внутренности черного ящика» приводит к параметрам системы а, а типичное наличие процессов в системе — к параметрам состояния и процесса: у и t. На основании наличия процессов формулируются и правила S, V. Другими составляющими кортежа в определении модели могут быть входные случайные воздействия (представляющие собой часть входов х⁺), характеристики структуры системы в отличие от характеристик элементов (выделенные из параметров а), некоторые свободные параметры модели, все множество значений которых должно быть учтено при расчете выходов (например, операциями взятия максимума, интегрированием), управление и введенные для целенаправленных систем.

Пример с моделью в виде системы дифференциальных уравнений интересен тем, что если считать выходом не значение функции у в точке t₁, а саму функцию, то мы получаем совпадение операторов S и V. Операторное равенство для V при этом является просто переобозначением: х^- = у. Такое положение дел, когда выходом в системе служит параметр состояния, достаточно типично. Аналогичная ситуация уже отмечалась нами при определении цели системы в п. 1.1.5. Для этого случая можно вписать вместо (1.8) укороченный кортеж без правил S и V.

В примере с переработкой текста можно вполне обойтись без операторов S и V и строить сразу оператор V. Такая ситуация, когда удобно сразу. Без промежуточных стадий, искать основное правило V, тоже встречается нередко и аналогично случаю с системой дифференциальных уравнений ведет к кортежу без S и V. Кстати, именно этим объясняется наличие на первый взгляд «лишней» составляющей V в (1.8), ведь еще в определении этого правила мы подчеркнули, что оно выводило из предыдущих. Но именно типичность ситуации с отсутствием операторов S и V (или неудобство работы с ними) является основным оправданием практического удобства введения в кортежную запись модели.

Условность составляющих кортежа!

Часто даже при незначительных изменениях постановки задачи происходит переход величин из одной составляющей кортежа в другую. Так, некоторую мало меняющуюся величину в системе можно отнести и к параметрам системы а (сделав условно постоянной), и к параметрам состояния. Математическим путем заменены переменной нередко меняющиеся местами параметр процесса и один из параметров состояния. В ряде случаев могут возникать трудности с отнесением данной величины к параметрам состояния или выходным воздействиям.

Так, в примере о двигателе интересно разобрать вопрос о месте сил трения в кортеже. Напомним, что они отнесены к группе параметров состояния. Однако при широко используемой записи сил трения через кинематические величины и постоянные коэффициенты трения они могут быть выведены из рассмотрения с включением вместо них в список неизменяемых параметров системы указанных коэффициентов. Если же силы трения не зависят от кинематики, т.е. от состояния системы, то они могут считаться и входами. Если же нашей задачей будет исследование именно сил трения в двигателе, то эти силы станут выходами в системе.