link888 link889 link890 link891 link892 link893 link894 link895 link896 link897 link898 link899 link900 link901 link902 link903 link904 link905 link906 link907 link908 link909 link910 link911 link912 link913 link914 link915 link916 link917 link918 link919 link920 link921 link922 link923 link924 link925 link926 link927 link928 link929 link930 link931 link932 link933 link934 link935 link936 link937 link938 link939 link940 link941 link942 link943 link944 link945 link946 link947 link948 link949 link950 link951 link952 link953 link954 link955 link956 link957 link958 link959 link960 link961 link962 link963 link964 link965 link966 link967 link968 link969 link970 link971 link972 link973 link974 link975 link976 link977 link978 link979 link980 link981 link982 link983 link984 link985 link986 link987 link988 link989 link990 link991 link992 link993 link994 link995 link996 link997 link998 link999 link1000 link1001 link1002 link1003 link1004 link1005 link1006 link1007 link1008 link1009 link1010 link1011 link1012 link1013 link1014 link1015 link1016 link1017 link1018 link1019 link1020 link1021 link1022 link1023 link1024 link1025 link1026 link1027 link1028 link1029 link1030 link1031 link1032 link1033 link1034 link1035

Лекция по системному анализу в чрезвычайных ситуациях. Часть 3

Тема  2.2.3: Формальная запись и общие свойства


1. Уровни общности и абстрактности математических моделей

2. Формальная запись модели.


1. Уровни общности и абстрактности математических моделей

Ранее уже говорилось о сложной структуре задач математического моделирования. Практически всегда создаются и разрабатываются общие модели, описывающие классы по крайней мере близких однотипных систем. Но уровни их общности различны. Можно создать модель давления коленчатого вала на поддерживающие его подшипники, ограничившиеся при этом силовыми и геометрическими характеристиками, типичными, скажем, для автомобильных двигателей. Но можно рассмотреть модель реакций вращающегося твердого тела — две модели будут очень близки, но, естественно, различны по уровню общности. Первую из них есть смысл рассматривать, если в ней учтены особенности, характеризующие именно дальний узкий класс систем.

Наибольший интерес представляют общие модели с достаточно высоким уровнем абстракции. Такие модели могут самостоятельно изучаться, анализироваться, дополняться доказанными свойствами и утверждениями. Сведения, полученные при теоретическом рассмотрении, будут применимы ко всем конкретным системам, содержащимся в них. Эти уровни общности и абстракции могут образовывать целые иерархические структуры, в которых переход к конкретной модели будет проходить в несколько этапов («спуск» ко все более и более частному).

Особенно широко распространено и известно исследование абстрактных математических моделей. Типичными с точки зрения практики являются модели в виде наборов формул, систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений, дискретных переходов, статистических описаний, аппроксимирующих представлений, описания игровых ситуаций и т.д. Можно говорить о ряде общих моделей в химии, физике, биологии, экологии.

Возвращаясь к превращению общей модели в конкретную, которое достигается наполнением ее информацией, отметим, что тот процесс не всегда прост, особенно при использовании неоднородной и объемной информации. Одновременно он настолько важен и ответствен, что ведет к самостоятельному исследованию понятий удобного хранения, выдачи и подготовки информации непосредственному использованию. В настоящий момент эти исследования образуют отдельную, ориентированную на ЭВМ область знания, называемую организацией банков (баз) данных (знаний).

Взаимоотношения этой новой области с системным анализом будут рассмотрены в главе 4, однако и до этого нам понадобится ряд новых понятий. Поэтому укажем, что данными обычно называют числовой и словесный (говорят также: фактографический) материал, который сам по себе не несет смысловой нагрузки. В противовес этому знаниями называют смысловой материал типа программных средств, методик, указаний, описания моделей.

 2. формальная запись модели

1.3.3. Формальная запись модели. Эта запись традиционно занимает существенное место в общей теории систем, но понятна также и для анализа конкретной модели.

Сначала обозначим:

- набор входных воздействий (входов) в системе — х+ и их допустимую совокупность — Х+, х+ÎХ+;

- набор выходных воздействий (выходов) в системе — всю их возможную совокупность — Х-, х-ÎХ-;

- набор параметров, характеризующих свойства систем постоянные вр все время рассмотрения, и влияющих на выходные воздействия системы, — а и всю их допустимую совокупность — А, аÎА;

- набор параметров, характеризующих свойства системы, меняющиеся во время ее рассмотрения (параметры состояния), — у и всю их допустимую совокупность — Y, y ÎY;

- параметр (или параметры) процесса в системе п. 1.1.4) — t и всю их допустимую совокупность — Т, tÎT;

- правило S (функция, оператор) определения параметра состояния системы по входам х+, постоянным параметрам и параметру процесса t. Заметим, что мы всегда будем различать величины и правило их определения. Здесь запись y = S(x+, a, t) означает нахождение параметров по этому правилу, в то время как о величине у можно говорить и вне правила ее определения;

- правило V (функция, оператор) определения выходных характеристик системы по входам x+, постоянным параметрам, параметру процесса t и параметрам состояния у, т.е. x- = V(x+, a, t, y);

- правило W (функция, оператор) определения выходов характеристик системы по входам х+, постоянным параметра и параметру процесса t. Указанное правило V может быть получено подстановкой правила S в правило V, что дает исключение из него параметров состояния: x- = V(x+, a, t).

На основе введения вышеуказанных воздействий, параметров и правил модель может быть записана как кортеж

Σ : {x+, x-, a, t, y, S, V, V} 

x+ÎX+, x- Î X-, aÎA, t ÎT, y ÎY.

Поясним определение модели на ряде примеров.

Сначала рассмотрим упрощенную схему работы дизельного двигателя. В этом случае имеем:

- входы (внешние воздействия): своевременная подача в меру сгорания газовой смеси определенного состава; внешний момент (нагрузка) в точке вывода мощности;

- выход: мощность двигателя;

- неизменяемые параметры системы: объем камеры сгорания, число и расположение цилиндров, степень сжатия; размеры и жесткость поршней, шатунов, коленвала, маховика и их частей силового механизма;

- параметр процесса: время или угол поворота коленвала;

- параметры состояния: температура и давление в камере сгорания; скорости (ускорения) движущихся частей, силы трения в двигателе;

- правило S (уравнения состояния): термодинамические уравнения, описывающие процесс сгорания газовой смеси, и механические уравнения, описывающие движение частей силового механизма;

- правило V: запись мощности двигателя в виде функции скоростей движения частей силового механизма и внешнего коэффициента; она равна произведению угловой скорости коленвала внешнего момента;

- правило V: запись мощности в виде функции от скорости подачи газовой смеси, ее состава и внешнего момента (нагрузки).

II пример.

Во втором, математическом примере рассмотрим в качестве цели систему дифференциальных уравнений clip_image002[10] решаемую для различных начальных условий и различных правых частей.

В этом случае имеем:

- входы: начальные условия, вектор правых частей f(t), значение t1, до которого необходимо интегрировать систему;

- выход: значение y(t1) = y1;

- неизменные параметры системы: матрица А;

- параметры состояния: вектор y;

- параметр процесса — t;

- правило S: решение дифференциального уравнения в зависимости от начальных условий, констант, правых частей и аргумента; y = y (t0,, y0,,A, f(t), t);

- правило V: подстановка в решение дифференциального уравнения значения t1; y1 = y\t=t 1 ;

- правило V: зависимость y1 = y(t0,, y0,, A, f(t), t1).

III пример.

Третий пример информационный. Рассмотрим модель длительности переработки человеком текста в резюме. В этом случае:

- входы: объем текста, численная оценка его сложности;

- выход: длительность i составления резюме;

- неизменяемые параметры здесь будут соответствовать способностям данного человека: скорость осмысленного чтения текста и число повторных чтений в зависимости от его сложности усредненное число переделок резюме;

- параметры состояния определяют объем проделанной работы на данный момент t: объем изученного текста, объем составленной части резюме, оставшееся число переделок резюме;

- параметр процесса: стадия работы или время;

- правило S: зависимость объема проделанной работы, объема и сложности текста, способностей человека, времени;

- правило V: зависимость величины i от объема проделанной работы;

- привило V: зависимость величины i от объема текста, сложности и способностей данного человека.

Восемь рассмотренных составляющих кортежа не являются универсальными и обязательными. Это просто наиболее удобные на практике составляющие. Их может быть как больше (см., например, ниже системы управлением), так и меньше. Минимальное число составляющих имеет модель «черного ящика»:

Σ : {x+, x--, V},

где х- = V(x+).

Введение в рассмотрение «внутренности черного ящика» приводит к параметрам системы а, а типичное наличие процессов в системе — к параметрам состояния и процесса: у и t. На основании наличия процессов формулируются и правила S, V. Другими составляющими кортежа в определении модели могут быть входные случайные воздействия (представляющие собой часть входов х+), характеристики структуры системы в отличие от характеристик элементов (выделенные из параметров а), некоторые свободные параметры модели, все множество значений которых должно быть учтено при расчете выходов (например, операциями взятия максимума, интегрированием), управление и введенные для целенаправленных систем.

Пример с моделью в виде системы дифференциальных уравнений интересен тем, что если считать выходом не значение функции у в точке t1, а саму функцию, то мы получаем совпадение операторов S и V. Операторное равенство для V при этом является просто переобозначением: х- = у. Такое положение дел, когда выходом в системе служит параметр состояния, достаточно типично. Аналогичная ситуация уже отмечалась нами при определении цели системы в п. 1.1.5. Для этого случая можно вписать вместо (1.8) укороченный кортеж без правил S и V.

В примере с переработкой текста можно вполне обойтись без операторов S и V и строить сразу оператор V. Такая ситуация, когда удобно сразу. Без промежуточных стадий, искать основное правило V, тоже встречается нередко и аналогично случаю с системой дифференциальных уравнений ведет к кортежу без S и V. Кстати, именно этим объясняется наличие на первый взгляд «лишней» составляющей V в (1.8), ведь еще в определении этого правила мы подчеркнули, что оно выводило из предыдущих. Но именно типичность ситуации с отсутствием операторов S и V (или неудобство работы с ними) является основным оправданием практического удобства введения в кортежную запись модели.

Условность составляющих кортежа!

Часто даже при незначительных изменениях постановки задачи происходит переход величин из одной составляющей кортежа в другую. Так, некоторую мало меняющуюся величину в системе можно отнести и к параметрам системы а (сделав условно постоянной), и к параметрам состояния. Математическим путем заменены переменной нередко меняющиеся местами параметр процесса и один из параметров состояния. В ряде случаев могут возникать трудности с отнесением данной величины к параметрам состояния или выходным воздействиям.

Так, в примере о двигателе интересно разобрать вопрос о месте сил трения в кортеже. Напомним, что они отнесены к группе параметров состояния. Однако при широко используемой записи сил трения через кинематические величины и постоянные коэффициенты трения они могут быть выведены из рассмотрения с включением вместо них в список неизменяемых параметров системы указанных коэффициентов. Если же силы трения не зависят от кинематики, т.е. от состояния системы, то они могут считаться и входами. Если же нашей задачей будет исследование именно сил трения в двигателе, то эти силы станут выходами в системе.

Вы здесь: Главная БЖД и Охрана труда Чрезвычайные ситуации Лекция по системному анализу в чрезвычайных ситуациях. Часть 3