link592 link593 link594 link595 link596 link597 link598 link599 link600 link601 link602 link603 link604 link605 link606 link607 link608 link609 link610 link611 link612 link613 link614 link615 link616 link617 link618 link619 link620 link621 link622 link623 link624 link625 link626 link627 link628 link629 link630 link631 link632 link633 link634 link635 link636 link637 link638 link639 link640 link641 link642 link643 link644 link645 link646 link647 link648 link649 link650 link651 link652 link653 link654 link655 link656 link657 link658 link659 link660 link661 link662 link663 link664 link665 link666 link667 link668 link669 link670 link671 link672 link673 link674 link675 link676 link677 link678 link679 link680 link681 link682 link683 link684 link685 link686 link687 link688 link689 link690 link691 link692 link693 link694 link695 link696 link697 link698 link699 link700 link701 link702 link703 link704 link705 link706 link707 link708 link709 link710 link711 link712 link713 link714 link715 link716 link717 link718 link719 link720 link721 link722 link723 link724 link725 link726 link727 link728 link729 link730 link731 link732 link733 link734 link735 link736 link737 link738 link739

Лекция по системному анализу в чрезвычайных ситуациях. Часть 3

Тема 2.2.2 Часть 1: Моделирование на основе теории катастроф

clip_image002[6]

Под катастрофой в математике понимается скачкообразное изменение состояния системы при малом изменении управляющих параметров. Такое изменение бывает возможно далеко не всегда, и лишь тогда, когда система находится в неустойчивом состоянии (состояние неустойчивого равновесия). Например, мы повернули руль совсем чуть-чуть не вправо, а влево, и автомобиль оказался в кювете; оператор АЭС совсем немного выдвинул стержни, и реактор начал разогреваться в аварийном режиме. С катастрофой в математике связан также термин "бифуркация".

Бифуркация — означает «раздвоение». Этот термин употребляют в широком смысле для обозначения всевозможных качественных перестроек и метаморфозу различных параметров, от которых они зависят.

Важную роль в создании теории катастроф сыграли работы Р. Тома («Структурная устойчивость и морфогенез»), в которой он рассматривал проблемы морфогенеза с точки зрения прикладной математики. Речь идет о выделении наиболее существенных особенностей на начальных стадиях развития организма и их математическом описании. Наиболее важным в морфогенезе является появление новых качеств, например, изменения типа симметрии, наблюдаемые в ходе развития организма.

Характерной чертой биологических и многих других систем (технических, социальных) являются скачки — внезапные перестройки, происходящие при непрерывном варьировании параметров. Эти внезапные изменения были названы Р. Тома катастрофами.

В динамике систем иногда возникают ситуации, когда при плавном изменении параметра l в критической точке происходит скачок. Пример — см. рис. 2, когда скачком появляется или исчезает мера состояний равновесия.

clip_image004[6]

В технике с этой биофуркацией часто связан эффект «хлопка» или «прощелкивания».

В ряде случаев они являются причинами аварий.

При исследовании динамики большой системы, когда цель не является четко обозначенной, часто делается попытка минимизации некоторой функции полезности (функции цены).

Пусть, например, l1, l2 …lk — параметры управления большой системы. Они принимают значения х1*, х2*, х*n в состоянии равновесия, при котором достигается локальный минимум функций f(x1 , x2xn , l1,l2 lк). Значение хi* зависят от выбора параметров a, т.е.

хi* = хi* (l), I = 1, n. .В этом случае катастрофа — это скачкообразные изменения параметров х, происходящие в результате плавного изменения параметров А.

clip_image006[6]

Теория катастроф позволила провести классификацию «типичных» критических точек и выяснить, какими бывают «типичные катастрофы» при различном числе параметров l, определяющих состояние системы («катастрофы» сборки…).

Пример. Рассматриваются биржевые операции (Состояние системы описывается скоростью изменения индекса Доу-Джонса на бирже).

Входные переменные:

l1 — дополнительный спрос на акции со стороны покупателей;

l2 — доля денежных средств, направленная на спекулятивные операции.

Для моделирования функционирования биржи предлагается использовать уравнение типа сборки

clip_image008[4]

Используется тот факт, что вдоль линий сборки

clip_image010[4].

и определяется связь между l1 и l2, а затем минимальные изменения Dl1 и Dl2 для пересечения бифуркационной кривой..

clip_image012

В частности, для модели биржевых операций было получено Dl1>Dl2, т.е. модель биржевых операций обладает более высокой адаптивностью (~ в 2 раза) по отношению к изменению спроса на акции со стороны покупателей, чем к изменению средств, направленных на спекулятивные операции.

Ограничения к применению математического аппарата теории катастроф:

1) динамика большой системы описывается гладкой функцией;

2) вектор параметров системы имеет не больше пяти компонентов;

3) большая система рассматривается как «черный ящик».

Таким образом, математический инструментарий весьма ограничен, несмотря на большую философскую привлекательность теории катастроф.

Вы здесь: Главная БЖД и Охрана труда Чрезвычайные ситуации Лекция по системному анализу в чрезвычайных ситуациях. Часть 3