Лекции для студентов

Механика. Лекции по физике

 

1. Момент силы.

Вращающее действие силы определяется ее моментом. Моментом силы относительно какой-либо точки называется векторное произведение

, (40)

 — радиус-вектор, проведенный из точки в точку приложения силы (рис.5). Единица измерения момента силы .

Величина момента силы

,

или можно записать

, (41)

где  — плечо силы ( кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы).

Рис.5.

Момент силы относительно какой-либо точки равен нулю, если линия действия силы проходит через эту точку.

Проекция вектора на какую-либо ось, например, ось z, называется моментом силы относительно этой оси. Чтобы определить момент силы относительно оси, сначала проецируют силу на плоскость, перпендикулярную оси (рис.6), а затем находят момент этой проекции относительно точки пересечения оси с перпендикулярной ей плоскостью. Если линия действия силы параллельна оси, или пересекает ее, то момент силы относительно этой оси равен нулю.

Рис.6.

2. Момент инерции тела.

Моментом инерции тела относительно какой-либо оси z называется сумма произведений масс точек этого тела на квадраты расстояний от этих точек до оси

, (42)

 — масса -той точки ,  — кратчайшее расстояние от -той точки до оси z.

Для сплошных тел момент инерции определяется через интеграл

, (43)

- расстояние от элемента массы тела до оси z.

Моменты инерции однородных тел простой геометрической формы обычно рассчитывают по формуле (43), а сложной определяют экспериментально. В таблице 1 приведены моменты инерции некоторых тел.

Теорема Штейнера. Если для какого-либо тела известен его момент инерции относительно оси , проходящей через центр масс тела, то момент инерции этого тела относительно оси , параллельной , равен

, (44)

- масса тела, - кратчайшее расстояние между осями и .

2. Основной закон динамики вращательного движения.

Для тела, вращающегося вокруг оси z,

, (45)

 — момент инерции тела относительно оси вращения z,  — угловое ускорение тела,  — сумма моментов сил, приложенных к телу, и рассчитанных относительно оси вращения, - индекс суммирования. Уравнение (45) представляет собой основной закон динамики вращательного движения.

 

3. Условия равновесия тел.

Из 2-го закона Ньютона и основного уравнения динамики вращательного движения следуют условия равновесия тел: для покоящегося тела

1) сумма действующих на тело сил должна быть равной нулю,

,

или, если использовать проекции сил, то

и ; (46)

2) сумма моментов сил относительно любой точки тела должна быть равна нулю

. (47)

Таблица 1. Моменты инерции некоторых тел.

4. Момент импульса .

Моментом импульса материальной точки массой , движущейся со скоростью , относительно какой-либо точки отсчета , называют векторное произведение

,

- радиус-вектор материальной точки (рис.7),  — ее импульс.

Рис.7.

Величина момента импульса материальной точки

, (48)

где -кратчайшее расстояние от линии вектора до точки .

Для вращающегося тела момент импульса относительно оси вращения

равен

, (49)

- момент инерции тела относительно оси и  — его угловая скорость.

Скорость изменения момента импульса системы тел равна сумме моментов сил, приложенных к этой системе

.

Тогда

. (50)

Если моменты сил постоянны, то уравнение (50) можно записать в виде

, (51)

т.е. изменение момента импульса системы тел относительно какой-либо оси равно сумме моментов сил, действующих на эту систему, умноженной на время .

Отсюда следует закон сохранения момента импульса: момент импульса системы тел относительно оси сохраняется, если сумма моментов сил , действующих на эту систему, равна нулю.