Лекции для студентов

Механика. Лекции по физике

МЕХАНИКА.

 

 

КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА.

 

1. Скорость точки.

Перемещением материальной точки за время называется вектор , соединяющий начальное и конечное положение этой точки. Путь  — расстояние, пройденное точкой по траектории за время (рис.1).

Рис.1.

Средней скоростью движения за время называется величина

. (1)

Скорость точки (ее также называют мгновенной скоростью)

, (2)

- перемещение за малое время . Вектор направлен по касательной к траектории движения, т.к. при вектор , секущий траекторию, становится касательным к ней вектором .

Т.к. модуль перемещения и расстояние , пройденное за малое время, совпадают, то модуль вектора скорости равен производной от пути по времени

. (3)

Соответственно путь , пройденный за время , равен интегралу от скорости по времени

. (4)

Движение материальной точки также описывают с помощью ее координат . В этом случае, чтобы определить скорость , сначала вычисляют проекции скорости на оси x,y,z , которые равны производным от соответствующих координат по времени

, , . (5)

Тогда величина скорости

. (6)

2. Ускорение точки.

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости

, (7)

 — изменение вектора скорости за малый промежуток времени .

Ускорение можно разложить на тангенциальное (его еще называют касательным) ускорение и нормальное (центростремительное) ускорение ,

. (8)

Тангенциальное ускорение возникает, если скорость меняет величину, оно равно производной от скорости по времени ,

. (9)

При движении с постоянной по величине скоростью .

Нормальное ускорение

, (10)

- радиус кривизны траектории в данной ее точке. Радиус кривизны равен радиусу окружности, дуга которой совпадает с участком траектории.

Для траектории, представляющей собой прямую линию, и . Т.е. нормальное ускорение возникает только при искривлении траектории движения, когда вектор скорости меняет свое направление.

Если траектория точки — окружность, то радиус кривизны равен радиусу окружности, , и .

Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории; направление совпадает с направлением вектора скорости при ускоренном движении и противоположно ему при замедленном. Нормальное ускорение перпендикулярно и направлено в сторону вогнутости траектории (рис.2). Т.к. векторы и перпендикулярны, то величина полного ускорения

. (11)

Рис.2.

При координатном способе задания движения, чтобы определить ускорение, сначала вычисляют его проекции на оси x,y,z

, , . (12)

Величина ускорения в этом случае

. (13)

3. Формулы прямолинейного равноускоренного движения.

Если тело (материальная точка) движется вдоль оси х с постоянным ускорением, проекция которого на эту ось равна , то зависимость координаты тела от времени описывается уравнением

. (14)

Проекция скорости в момент равна

. (15)

 — начальная координата и  — проекция скорости на ось х в момент времени .

Формулы равноускоренного движения используются при решении задач на падение тел вблизи поверхности Земли, т.к. такое движение происходит под действием силы тяжести с постоянным ускорением м/c² (ускорение свободного падения тел).

4. Поступательное движение тела.

Поступательным называется движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, перемещается параллельно самой себе. Т.к. при поступательном движении траектории, скорости и ускорения всех точек тела совпадают, то для описания движения тела достаточно рассмотреть движение любой его точки.