Электричество и магнетизм. Часть 4

5.8. Упругие волны в твердых телах. Аналогия с электромагнитными волнами.

Законы распространения упругих волн в твердых телах вытекают из общих уравнений движения однородной упруго деформированной среды:

clip_image405,

где ρ – плотность среды; ui — компоненты вектора упругого смещения; σik = ciklmεlm — тензор напряжений; clip_image407- тензор деформации; ciklm – тензор упругих модулей.

Отсюда следует, что вектор упругого смещения удовлетворяет волновому уравнению вида:clip_image006[5]

clip_image006[6]clip_image409.

Если искать решение этого уравнения в виде плоской монохроматической волны

clip_image411,

то ему можно придать вид:

clip_image413,

где clip_image415 — тензор приведенных упругих модулей; clip_image417- единичный вектор волновой нормали; c = ω/k — фазовая скорость упругой волны.

Полученное уравнение является основным для всей теории упругих волн в твердых телах, и носит название уравнения Кристоффеля. Из него, в частности, следует, что в анизотропных твердых телах (кристаллах) по любому направлению могут распространяться три упругие волны, которые в общем случае не являются ни чисто продольными, ни чисто поперечными. Фазовые скорости их также различны.

Изотропные твердые тела характеризуются только двумя упругими модулями — модулем Юнга E и модулем сдвига G. В таких телах две из трех упругих волн всегда являются чисто поперечными и имеют одинаковуюфазовую скорость ct; третья волна является чисто продольной и имеет свою фазовую скорость cl > ct. В данном случае исходное волновое уравнение распадается на два независимых волновых уравнения для двух поперечных волн clip_image419 и одной продольной волны clip_image421:

clip_image423; clip_image425,

где clip_image427- фазовая скорость поперечной волны; clip_image429- фазовая скорость продольной волны.

Как и электромагнитные волны, упругие волны переносят энергию и импульс. Перенос энергии в упругой волне осуществляется за счет потока вектора Умова clip_image431, аналогичного вектору Пойнтинга clip_image385[1], и имеющему смысл плотности потока энергии. Дифференциальное уравнение закона сохраненияэнергии для упругого поля имеет аналогичный вид:

clip_image434,

где

clip_image436 —

плотность энергии упругой волны, которая слагается из кинетической энергии колеблющихся частиц среды и потенциальной энергии упругой деформации;

clip_image438 -

компоненты вектора Умова (Умов Н.А., 1846-1915).

Альтернативный подход к описанию закономерностей распространения упругих волн в кристаллах основан на представлении первичного волнового уравнения второго порядка системой дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка от вектора смещения (Наими Е.К., Хзарджян С.М., 1978). При этом уравнения для поперечных компонент вектора смещения оказываются полностью аналогичными уравнениям Максвелла для электромагнитного поля в вакууме, а для продольных компонент — аналогичными уравнениям плазменных колебаний. Соответствующие уравнения записываются в виде:

для поперечных компонент

clip_image440

для продольных компонент

clip_image442

Преимуществом данного подхода является то, что он открывает возможность исследования упругих волновых процессов в кристаллах на основе математического аппарата, разработанного в электродинамике сплошных сред.

 

Вы здесь: Главная Физика Электричество и магнетизм Электричество и магнетизм. Часть 4