link6068 link6069 link6070 link6071 link6072 link6073 link6074 link6075 link6076 link6077 link6078 link6079 link6080 link6081 link6082 link6083 link6084 link6085 link6086 link6087 link6088 link6089 link6090 link6091 link6092 link6093 link6094 link6095 link6096 link6097 link6098 link6099 link6100 link6101 link6102 link6103 link6104 link6105 link6106 link6107 link6108 link6109 link6110 link6111 link6112 link6113 link6114 link6115 link6116 link6117 link6118 link6119 link6120 link6121 link6122 link6123 link6124 link6125 link6126 link6127 link6128 link6129 link6130 link6131 link6132 link6133 link6134 link6135 link6136 link6137 link6138 link6139 link6140 link6141 link6142 link6143 link6144 link6145 link6146 link6147 link6148 link6149 link6150 link6151 link6152 link6153 link6154 link6155 link6156 link6157 link6158 link6159 link6160 link6161 link6162 link6163 link6164 link6165 link6166 link6167 link6168 link6169 link6170 link6171 link6172 link6173 link6174 link6175 link6176 link6177 link6178 link6179 link6180 link6181 link6182 link6183 link6184 link6185 link6186 link6187 link6188 link6189 link6190 link6191 link6192 link6193 link6194 link6195 link6196 link6197 link6198 link6199 link6200 link6201 link6202 link6203 link6204 link6205 link6206 link6207 link6208 link6209 link6210 link6211 link6212 link6213 link6214 link6215

Теория автоматического управления. Лекция 3: Математическое описание автоматических систем управления

Таблица 2.1

Элементарные неминимально-фазовые звенья

Передаточная

функция W

Выражение ФЧХ

График ЛФЧХ

1

2

3

1

2

3

2.7.2. Интегрирующие звенья
Идеальное интегрирующее звено

Уравнение и передаточная функция

,
или при нулевых начальных условиях

(2.48)

Частотная передаточная функция

. (2.49)

Частотные характеристики

.

Переходная характеристика

 

АФЧХ (рис.2.28,а) интегрирующего звена совпадает с отрицательной мнимой полуосью.

а

б

в

Рис. 2.28

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (рис.2.28,б) имеет вид

. (2.50)

Отметим, что на частоте w=1 ЛАХ , а на частоте ЛАХ пересекает ось частот, так как .

ЛАХ интегрирующего звена имеет наклон -20 дБ/дек. Для построения ЛАХ линию с таким наклоном проводят либо через точку с абсциссой w=1 и ординатой , либо через точку с абсциссой и ординатой .

ФЧХ не зависит от частоты, и фазовый сдвиг равен -90° на всех частотах. Переходная характеристика h(t) представляет собой прямую, проходящую через начало координат с угловым коэффициентом наклона (рис.2.28.в).

Рис. 2.29

Примером интегрирующих звеньев могут служить двигатели, если выходной величиной является угол поворота вала; операционный усилитель в режиме интегратора (рис.2.29).

Инерционное интегрирующее звено

Уравнение и передаточная функция звена:

(2.51)

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (рис.2.30)

Рис. 2.30

ВЧХ и МЧХ имеют вид

,

Из выражений ВЧХ и МЧХ следует, что при

.

Рис. 2.31

ЛАЧХ описывается выражением

Асимптотическая ЛАЧХ и ЛФЧХ звена представлены на рис.2.31.

Переходная функция как решение уравнения звена имеет вид

и изображена на рис.2.32.

Рис. 2.32

Из рисунка видно, что за счет постоянной времени, вместо идеального интегрирования, здесь

получается интегрирование с инерционным за­паздыванием. Примером инерционного интегрирующего звена может служить электродвигатель при учете электромеханической постоянной, если выходной величиной считать угол поворота вала двигателя.

Следует обратить внимание на следующую важную особенность позиционных и интегрирующих звеньев: асимптоты ЛАЧХ этих звеньев в области высших частот имеют отрицательные наклоны, крутизна которых определяется порядком полинома знаменателя передаточной функции звена; фазовые сдвиги, вносимые этими звеньями, также отрицательны.

2.7.3. Дифференцирующие звенья
Идеальное дифференцирующее звено

Уравнение и передаточная функция звена

(2.52)

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (рис.2.33.а)

Идеальным такое звено называют потому, что степень полинома числителя переда­точной функции (m=1) больше степени полинома знаменателя (n=0), что, в свою очередь, свидетельствует о бесконечно большом усилении () в области высоких частот (), что в реальных звеньях физически невозможно.

В реальных системах такой вид характеристики звена возможен лишь в ограниченной полосе частот.

а б в

Рис. 2.33 Частотные характеристики идеального дифференцирующего звена

Логарифмические частотные характеристики (рис.2.33,в)

Для построения ЛАХ линию наклоном +20 дБ/дек проводят через точку на частоте либо через точку на частоте

Переходная функция представляет собой d - функцию:

 

Примером такого звена может служить тахогенератор (рис.2.34,а) — маломощный электрогенератор, выходное напряжение которого пропорционально угловой скорости вращения якоря (производной угла поворота якоря ) или дифференцирующий операционный усилитель (рис.2.34,б).

Еще раз подчеркиваем, что дифференцирующими свойствами эти устройства обладают в ограниченной полосе частот, где пренебрежимо мало влияние инерционных составляющих передаточных функций звеньев.

а б

Рис. 2.34

Инерционное (реальное) дифференцирующее звено

Уравнение и передаточная функция звена

(2.53)

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (рис.2.35.а) звена

 

 

Рис. 2.35 Частотные характеристики реального дифференцирующего звена

Логарифмические частотные характеристики (рис.2.36)

Переходная функция (рис.2.37)

Примером такого звена может служить дифференцирующая R-C цепь (рис.2.38).

Рис. 2.36

Рис. 2.37

Рис. 2.38

Форсирующее звено (идеальное звено с введением производной)

Форсирующим звеном первого порядка называют звено, которое описывается урав­нением

Передаточная функция

(2.54)

Это звено так же, как и апериодическое характеризуется двумя параметрами: постоянной времени и передаточным коэффициентом  

Частотная передаточная функция (рис.2.39,а)

 

 

ВЧХ и МЧХ имеет вид

Уравнение асимптотической ЛАХ форсирующего звена


где частота сопряжения.

а

б

Рис. 2.39

Асимптотическая ЛАЧХ после частоты сопряжения имеет "+l" наклон или +20 дБ/дек.

Рис. 2.40

ЛФЧХ форсирующего звена можно получить зеркальным отражением относительно оси частот ЛФЧХ апериодического звена и пользоваться теми же номограммой и шаблонами.

Переходная функция (рис. 2.40)

 . 

Форсирующее звено второго порядка

Уравнение и передаточная функция

при условии, что .

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (рис.2.41)

Рис. 2.41 

Рис. 2.42 

Выражения и графики для ЛАЧХ и ЛФЧХ могут быть получены из аналогичных графиков колебательного звена (при тех же значениях,) путем зеркального отображения относительно оси частот при K=1. 

Следует отметить, что при частотах, превышающих сопрягающую частоту, ЛАЧХ форсирующего звена второго порядка имеет "+2" наклон или +40 де/дек.

Если , то передаточная функция этого звена представляется в виде произведения двух форсирующих звеньев первого порядка.

2.7.4. Звено чистого запаздывания

Выходная величина в звеньях чистого запаздывания воспроизводит входную с отставанием по времени (рис.2.43).

Таким звеньям соответствуют объекты с распределенными параметрами, например длинные электрические линии.

Рис. 2.43

Уравнение звена

(2.56)
где t — запаздывание сигнала во времени

Функцию можно разложить в ряд Тейлора по степеням t, полагая t малой постоянной величиной и введя замену

(2.57)

Сравнивая это выражение с известным рядом

(2.58)

можно записать (2.56) в операторном виде

(2.59)

Таким образом, передаточная функция запаздывающего звена представляет собой трансцендентную функцию

(2.60)

Амплитудно-фазовая частотная характеристика

  (2.61)
представляет собой окружность единичного радиуса (рис.2.44,а).

Амплитудно-частотная характеристика не зависит от частоты, а фазово-частотная характеристика пропорциональна частоте:

град.

Следует отметить, что при построении ЛФЧХ необходимо переводить радианную меру в градусную.

ЛАЧХ и ЛФЧХ этого звена приведены на рис.2.44.б. Мы рассмотрели основные типовые звенья, которые входят в состав различных САУ. Знание ЛЧХ типовых звеньев необходимо при построении ЛЧХ систем также, как знание таблицы умножения — при выполнении арифметических действий.

В практике при построении ЛЧХ САУ обычно используют шаблоны ЛЧХ типовых звеньев, приведенные в литературе.

Рис. 2.44

Вы здесь: Главная Кибернетика и автоматика ТАУ Теория автоматического управления. Лекция 3: Математическое описание автоматических систем управления