link5032 link5033 link5034 link5035 link5036 link5037 link5038 link5039 link5040 link5041 link5042 link5043 link5044 link5045 link5046 link5047 link5048 link5049 link5050 link5051 link5052 link5053 link5054 link5055 link5056 link5057 link5058 link5059 link5060 link5061 link5062 link5063 link5064 link5065 link5066 link5067 link5068 link5069 link5070 link5071 link5072 link5073 link5074 link5075 link5076 link5077 link5078 link5079 link5080 link5081 link5082 link5083 link5084 link5085 link5086 link5087 link5088 link5089 link5090 link5091 link5092 link5093 link5094 link5095 link5096 link5097 link5098 link5099 link5100 link5101 link5102 link5103 link5104 link5105 link5106 link5107 link5108 link5109 link5110 link5111 link5112 link5113 link5114 link5115 link5116 link5117 link5118 link5119 link5120 link5121 link5122 link5123 link5124 link5125 link5126 link5127 link5128 link5129 link5130 link5131 link5132 link5133 link5134 link5135 link5136 link5137 link5138 link5139 link5140 link5141 link5142 link5143 link5144 link5145 link5146 link5147 link5148 link5149 link5150 link5151 link5152 link5153 link5154 link5155 link5156 link5157 link5158 link5159 link5160 link5161 link5162 link5163 link5164 link5165 link5166 link5167 link5168 link5169 link5170 link5171 link5172 link5173 link5174 link5175 link5176 link5177 link5178 link5179

Теория автоматического управления. Лекция 3: Математическое описание автоматических систем управления

Для анализа и синтеза САУ необходимо располагать ее математическим описанием — описанием физических процессов в САУ и ее основных подсистемах на языке математики. Для описания систему разбивают на отдельные подсистемы, узлы, элементы и т. д. Затем для каждого элемента составляют уравнения на основании физического закона, которому подчиняются процессы, протекающие в данном элементе. Совокупность уравнений всех элементов составляет математическое описание САУ (математическую модель САУ). Понятие математической модели связано с принятыми допущениями при составлении уравнений. Математическая модель системы должна быть, с одной стороны, как можно точнее, а с другой — по возможности проще, чтобы не усложнять исследования. Эти требования противоречивы, и только в результате разумного компромисса между ними находится математическая модель системы.

Уравнения переходных режимов называют уравнениями динамики, а уравнения установившихся режимов — уравнениями статики. Уравнения динамики — дифференциальные и интегродифференциальные, а уравнения статики — алгебраические.

Система управления и каждый ее элемент производят преобразование входной величины х(t) в выходную величину у(t). С математической точки зрения она осуществляет отображение

clip_image002,

согласно которому каждому элементу x(t) из множества X входных сигналов clip_image004 ставится в соответствие единственный, вполне определенный элемент у(t) из множества Y выходных сигналов clip_image006. Оператор A, определяющий соответствие между входными и выходными сигналами системы управления (элемента), называют оператором этой системы (элемента). Задать оператор системы — значит задать правила опреде­ления выходного сигнала системы по ее входному сигналу.

Все реальные системы состоят из различных элементов — механических,

электриче­ских, электронных, гидравлических и других устройств, которые могут отличаться друг от друга по своему физическому и конструктивному выполнению. Однако, несмотря на это, многие элементы САУ описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями, они обладают одинаковыми динамическими свойствами. Поэтому при исследовании САУ элементы делят не по физической природе и конструктивному исполнению, а по их динамическим свойствам. Этим лишний раз

подтверждается известное положение В.И.Ленина, что "единство природы обнаруживается в "поразительной аналогичности" дифференциальных уравнений, относящихся к разным областям явлений". В теории САУ элементы, процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями не выше второго порядка, называются звеньями системы. Состояние уравнения динамики каждого конкретного звена является предметом соответствующей конкретной области техниче­ских наук (электротехники, теплотехники, динамики полета и т.п.), к которым и следует обращаться в случае необходимости.

В общем случае звенья и системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Для примера рассмотрим звено (рис.2.1), которое можно описать дифференциальными уравнениями второго порядка

clip_image008

Рис. 2.1.

clip_image010, (2.1)

где у - выходная величина, х и f - входные величины, y’ и x’ - первые производные по времени, у” - вторая производная по времени.

Уравнение (2.1), описывающее процессы в звене при произвольных входных воз­действиях, называют уравнением динамики Пусть при постоянных входных величинах clip_image012 и clip_image014 процесс в звене с течением времени установится; величина у примет постоянное значение clip_image016. Тогда (2.1) примет вид

F(y0,0,0,x0,0)+f0=0.

Это уравнение описывает статический или установившийся режим и его называют уравнением статики .

Статический режим можно описать графически с помощью статических характери­стик. Статической характеристикой звена с одним входом и выходом называют зависимость выходной величины от входной в установившемся режиме. Если звено имеет несколько входов, то оно описывается с помощью семейства статических характеристик, представляющих собой кривые зависимости выходной величины у от одной величины х (или f) при различных фиксированных значениях другой — f (или х).

clip_image018

Рис. 2.2.

Пример. В электрическом двигателе любого типа скорость вращения в установив­шемся режиме w является функцией двух переменных: подводимого напряжения U и момента нагрузки на валу w =f (U, Mн).

Эта зависимость представляется семеймеханических характеристикw = f1 н) при фиксированных значениях управляющего напряжения const

Вы здесь: Главная Кибернетика и автоматика ТАУ Теория автоматического управления. Лекция 3: Математическое описание автоматических систем управления