link5328 link5329 link5330 link5331 link5332 link5333 link5334 link5335 link5336 link5337 link5338 link5339 link5340 link5341 link5342 link5343 link5344 link5345 link5346 link5347 link5348 link5349 link5350 link5351 link5352 link5353 link5354 link5355 link5356 link5357 link5358 link5359 link5360 link5361 link5362 link5363 link5364 link5365 link5366 link5367 link5368 link5369 link5370 link5371 link5372 link5373 link5374 link5375 link5376 link5377 link5378 link5379 link5380 link5381 link5382 link5383 link5384 link5385 link5386 link5387 link5388 link5389 link5390 link5391 link5392 link5393 link5394 link5395 link5396 link5397 link5398 link5399 link5400 link5401 link5402 link5403 link5404 link5405 link5406 link5407 link5408 link5409 link5410 link5411 link5412 link5413 link5414 link5415 link5416 link5417 link5418 link5419 link5420 link5421 link5422 link5423 link5424 link5425 link5426 link5427 link5428 link5429 link5430 link5431 link5432 link5433 link5434 link5435 link5436 link5437 link5438 link5439 link5440 link5441 link5442 link5443 link5444 link5445 link5446 link5447 link5448 link5449 link5450 link5451 link5452 link5453 link5454 link5455 link5456 link5457 link5458 link5459 link5460 link5461 link5462 link5463 link5464 link5465 link5466 link5467 link5468 link5469 link5470 link5471 link5472 link5473 link5474 link5475

Теория автоматического управления. Лекция 3: Математическое описание автоматических систем управления

2.3. Преобразование Лапласа и его основные свойства

В ТАУ в качестве математического аппарата для анализа линейных уравнений движения систем выступает операторное преобразование Лапласа. По образному выра­жению академика "операционное исчисление является азбукой совре­менной автоматики и телемеханики".

Рассмотрим функцию f (t) вещественной переменной (t), отвечающую следующим условиям:

(t) непрерывна для всех значений ³ 0, допускается конечное число точек разрыва непрерывности первого рода

(t) при t < 0

3) f (t) имеет ограниченный порядок возрастания, т.е. можно указать такие постоян­ные числа 0 и С0 ³ 0, при которых выполняется неравенство

clip_image088,
где число С0 является показателем роста функции

Функция f (t), удовлетворяющая условиям (1) — (3), называется оригиналом.

Пример: 1(t), 1(t)Asinwt, eat 1(t), t n 1(t). Изображением функции f (t) по Лапласу называется функция F(S) комплексного переменного S=с+jw, определяемая равенством

clip_image090, (2.14)
где L - оператор Лапласа.

Рассмотрим основные свойства преобразования Лапласа.

1. Свойство линейности:

clip_image092. (2.15)

2. Дифференцирование оригинала:

clip_image094, (2.16)

clip_image096, (2.17)

Если начальные условия нулевые, т.е.

clip_image098,

то последняя формула принимает вид

clip_image100,
т.е. дифференцированию f(t) соответствует умножение изображения F(S) на S.

3. Интегрирование оригинала:

clip_image102. (2.18)

При нулевых начальных условиях интегрирование оригинала сводится к делению изображения на S:

clip_image104. (2.19)

Свойства 3 и 2 позволяют дифференциальные и интегральные уравнения преобра­зовать в алгебраические, что существенно упрощает исследование САУ.

4. Теорема запаздывания. Для любого положительного числа t

clip_image106. (2.20)

5. Теорема о свертке (теорема умножения изображений)

Если f1(t) и f2(t) — оригиналы, а F1(S) и F2(S) — ихизображения, то

clip_image108. (2.21)

Интеграл правой части­ называют сверткой функции f1(t) и f(t) и обозначают f1(t)*f2(t).

6. Теорема о предельных значениях.

Если f(t) оригинал, а F(S) — его изображение, то

clip_image110 , и при существовании пределаclip_image112,

clip_image114

Вы здесь: Главная Кибернетика и автоматика ТАУ Теория автоматического управления. Лекция 3: Математическое описание автоматических систем управления