Лекции для студентов

Теория автоматического управления. Лекция 3: Математическое описание автоматических систем управления

2.2. Линеаризация

Для упрощения исследований САУ нелинейные дифференциальные уравнения во многих случаях можно приближенно заменить линейными. Процесс преобразования нелинейных уравнений в линейные называют линеаризацией.

Основой возможности линеаризации нелинейных уравнений является выдвинутое И.А.Вышнеградским положение о том, что в течение процесса управления происходят лишь достаточно малые отклонения всех величин от их установившихся значений. Этот метод получил название метода малых отклонений. Математической основой метода малых отклонений является разложение нелинейных функций в ряд Тейлора.

Рассмотрим нелинейное уравнение (2.1). Пусть заданному режиму соответствуют . 

Обозначим отклонения реальных значений x, f, у от требуемых через Dx, Df, Dy тогда можно записать:

Подставив эти выражения в (2.1), разложив это уравнение в ряд Тейлора, отбросим нелинейные члены (выше первого порядка) как достаточно малые величины:

, (2.2)
здесь звездочкой обозначена подстановка (). После установления в системе заданного режима уравнение (2.1) приобретает вид

F^*+f^*=0. (2.3)

Вычитая из уравнения (2.2) уравнение (2.3), получим линеаризованное уравнение звена (уравнение первого приближения)

, (2.4)
где
.

Общепринято, чтобы выходная величина у и все ее производные находились в левой части уравнения, а входная величина х и все остальные члены — в правой части.

Если время t явно не входит в исходное уравнение (2.1) и, кроме того, заданный режим является статическим (величины у, х не зависят от времени), то коэффициенты линеаризованного уравнения (2.4) постоянны.

Уравнение (2.4) было получено при следующих предположениях:

a) отклонения переменных у и достаточно малы;

b) функция обладает непрерывными частными производными по всем своим аргументам в окрестности точек, соответствующих заданному режиму.

При невыполнении хотя бы одного из этих условий линеаризацию проводить нельзя. Следует отметить относительность понятия "малые отклонения", величина отклонения определяется видом нелинейности.

Геометрическая трактовка этого способа линеаризации состоит в следующем. Рассмотрим нелинейную зависимость переменной у от у

а б

Рис. 2.3

Отметим значение, соответствующее заданному режиму, и проведем в точке С касательную под углом ;

.

Переход от линейного уравнения (2.1) к уравнению (2.4) в отклонениях соответст­вует переносу начала координат в точку С

Пример. Рассмотрим авиационный двигатель с винтом изменяемого шага, введем обозначения: - угол лопасти винта, меняющийся с изменением режима работы двигателяw - скорость винта выходного вала двигателя)

Требуется получить математическую модель двигателя как объекта управления, входящего в скоростью вращения авиационного двигателя.

Первым шагом в составлении уравнений динамики выделенного объекта является установление физического закона, определяющего поведение объекта. Обычно таким законом является закон энергии (объекты регулирования температуры), второй закон Ньютона (объекты регулирования скорости, центробежный маятник и т.п.) или какой-либо из других законов физики.

Вторым шагом должно быть определение факторов, от которых зависят перемен­ные, входящие в исходные уравнения, и установление выражений, характеризующих эту зависимость. Последние могут быть аналитическими функциями или заданы графически.

В большинстве случаев они являются нелинейными выражениями. Подставив их в исход­ное уравнение, получим нелинейное уравнение рассматриваемого объекта САУ.

Для нашего примера на основе второго закона Ньютона можно записать исходное уравнение

,

где J- момент инерции движущихся частей, приведенный к валу двигателя;

M_g — момент, развиваемый двигателем;

M_с — момент сил сопротивления на валу двигателя;

t - время.

Теперь необходимо установить, от каких величин и какими выражениями опреде­ляется движущий момент M_g, момент сопротивления М_c и является ли постоянной величиной приведенный момент инерции J.

Движущий момент зависит от угловой скорости двигателя w и величины наддува, которая задается летчиком и не может быть заранее определена (является неизвестной функцией времени). Поэтому можно написать

M_g=M_g(w, t).

Момент сопротивления зависит от угловой скорости двигателя , угла установки лопасти винта и ряда других факторов (плотности воздуха, скорости полета и дризмерение которых затруднительно. Допустим, что выражение для момента сопротивле­ния имеет вид

M_c w ,j, t).

На основании теории двигателей можно получить аналитическое выражение полу­ченных функций или представить в виде графиков. Момент инерции вращающихся частей будем считать постоянными.

Для линеаризации нелинейных уравнений необходимо конкретизировать понятие "заданный режим". При этом возможны два варианта:

первоначальное состояние равновесия, т.е. режим, существовавший до действия возмущения и начала переходного процесса;

установившийся режим после затухания переходных процессов, вызванных внеш­ним

Для данного случая уравнение установившегося режима можно записать в виде равенства на валу двигателя моментов

(2.6)
далее примем:

.

Подставляя в исходное уравнение (2.5) варьированные переменные, получим:

. (2.7)

Вычитая из уравнения (2.7) уравнение (2.6), получим уравнение возмущенного движения в отклонениях (вариациях)

. (2.8)

Произведем линеаризацию нелинейных уравнений и найдем отдельно каждое из приращений DM_g и DM_c:

Здесь через DM_g(t) и DM_c(t) обозначим составляющие приращений DM_g и DM_c изменяющиеся во времени по неизвестному или заданному закону.

Таким образом, можно записать

.

Перенося в левую часть члены, содержащие Dw , и обозначив DM_g(t)-DM_c(t)=DM(t) найдем

. (2.9)

Таким образом, мы получили линейное уравнение первого приближения, записан­ное в абсолютных величинах. Все члены уравнения имеют размерность момента.

Полученное уравнение первого приближения обычно приводят к уравнению в от­носительных единицах с безразмерными коэффициентами. Такая форма записи уравне­ний весьма удобна, так как избавляет от необходимости в каждом конкретном случае согласовывать размерности отдельных уравнений, входящих в систему, а также дает возможность свести изучение и сравнение динамических свойств большого разнообразия элементов самой различной физической природы к изучению свойств ограниченного числа типовых динамических звеньев комбинаций.

Для приведения уравнения (2.9) к безразмерному виду его следует поделить на некоторую постоянную величину, имеющую размерность членов этого уравнения мерность момента). Такой величиной обычно выбирают номинальное, максимальное или некоторое начальное значение данной переменной.

Поделим все члены уравнения (2.9) на величину номинального М_н момента двига­теля и получим уравнение с безразмерными членами:

. (2.10)

Перейдем к относительным единицам.

Выберем некоторые постоянные значения для каждой координаты, для каждого приращения, входящего в полученное уравнение. Умножим и разделим каждый член уравнения, в который входит та или иная переменная, на соответствующую ей постоян­ную величину:

. (2.11)

Введем обозначения:

- выходная координата;

- входное управляющее воздействие;

- постоянная времени, характеризующая время разгона;

- возмущающее воздействие;

- коэффициент самовыравнивания;

- коэффициент регулирующего воздействия.

В этом случае уравнение (2.10) преобразуется к виду

. (2.12)

В уравнении (2.12) коэффициент при производной имеет размерность времени в степени, равной порядку производной. В общем случае при первой производной — с, при второй — спри третьей — си т.д. Такая форма записи уравнений называется первой формой или формой Стодолы.

Обозначив d/dt = p уравнение (2.12) можно записать в символическом виде и в форме, принятой в ТАУ:

(2.13)

Уравнения (2.12) и (2.13) являются линейной математической моделью стационар­ного непрерывного объекта, составленной в форме "вход-выход".

При линеаризации уравнений элементов (с не аналитическими статическими харак­теристиками) может быть использован метод усреднения

 

Рис. 2.4

На рис.2.4 показана зависимость в установившемся режиме угловой скорости вра­щения w_g двигателя постоянного тока от величины управляющего напряжения U_вх.

Уравнение линеаризации

Dw _g=K_g DU_вх, где K_g=tga.

Линию усреднения проводят таким образом, чтобы минимальная относительная ошибка была . 

• << Назад
• Вперёд >>