link5180 link5181 link5182 link5183 link5184 link5185 link5186 link5187 link5188 link5189 link5190 link5191 link5192 link5193 link5194 link5195 link5196 link5197 link5198 link5199 link5200 link5201 link5202 link5203 link5204 link5205 link5206 link5207 link5208 link5209 link5210 link5211 link5212 link5213 link5214 link5215 link5216 link5217 link5218 link5219 link5220 link5221 link5222 link5223 link5224 link5225 link5226 link5227 link5228 link5229 link5230 link5231 link5232 link5233 link5234 link5235 link5236 link5237 link5238 link5239 link5240 link5241 link5242 link5243 link5244 link5245 link5246 link5247 link5248 link5249 link5250 link5251 link5252 link5253 link5254 link5255 link5256 link5257 link5258 link5259 link5260 link5261 link5262 link5263 link5264 link5265 link5266 link5267 link5268 link5269 link5270 link5271 link5272 link5273 link5274 link5275 link5276 link5277 link5278 link5279 link5280 link5281 link5282 link5283 link5284 link5285 link5286 link5287 link5288 link5289 link5290 link5291 link5292 link5293 link5294 link5295 link5296 link5297 link5298 link5299 link5300 link5301 link5302 link5303 link5304 link5305 link5306 link5307 link5308 link5309 link5310 link5311 link5312 link5313 link5314 link5315 link5316 link5317 link5318 link5319 link5320 link5321 link5322 link5323 link5324 link5325 link5326 link5327

Теория автоматического управления. Лекция 3: Математическое описание автоматических систем управления

2.2. Линеаризация

Для упрощения исследований САУ нелинейные дифференциальные уравнения во многих случаях можно приближенно заменить линейными. Процесс преобразования нелинейных уравнений в линейные называют линеаризацией.

Основой возможности линеаризации нелинейных уравнений является выдвинутое И.А.Вышнеградским положение о том, что в течение процесса управления происходят лишь достаточно малые отклонения всех величин от их установившихся значений. Этот метод получил название метода малых отклонений. Математической основой метода малых отклонений является разложение нелинейных функций в ряд Тейлора.

Рассмотрим нелинейное уравнение (2.1). Пусть заданному режиму соответствуют clip_image020. 

Обозначим отклонения реальных значений x, f, у от требуемых через Dx, Df, Dy тогда можно записать:

clip_image022 clip_image024

Подставив эти выражения в (2.1), разложив это уравнение в ряд Тейлора, отбросим нелинейные члены (выше первого порядка) как достаточно малые величины:

clip_image026, (2.2)
здесь звездочкой обозначена подстановка (clip_image028). После установления в системе заданного режима уравнение (2.1) приобретает вид

F*+f*=0. (2.3)

Вычитая из уравнения (2.2) уравнение (2.3), получим линеаризованное уравнение звена (уравнение первого приближения)

clip_image030, (2.4)
где clip_image032 clip_image034 clip_image036
clip_image038 clip_image040 clip_image042.

Общепринято, чтобы выходная величина у и все ее производные находились в левой части уравнения, а входная величина х и все остальные члены — в правой части.

Если время t явно не входит в исходное уравнение (2.1) и, кроме того, заданный режим является статическим (величины у, х не зависят от времени), то коэффициенты линеаризованного уравнения (2.4) постоянны.

Уравнение (2.4) было получено при следующих предположениях:

a) отклонения переменных у и достаточно малы;

b) функция обладает непрерывными частными производными по всем своим аргументам в окрестности точек, соответствующих заданному режиму.

При невыполнении хотя бы одного из этих условий линеаризацию проводить нельзя. Следует отметить относительность понятия "малые отклонения", величина отклонения определяется видом нелинейности.

Геометрическая трактовка этого способа линеаризации состоит в следующем. Рассмотрим нелинейную зависимость переменной у от у

clip_image044

а б

Рис. 2.3

Отметим значение, соответствующее заданному режиму, и проведем в точке С касательную под углом ;

clip_image046.

Переход от линейного уравнения (2.1) к уравнению (2.4) в отклонениях соответст­вует переносу начала координат в точку С

Пример. Рассмотрим авиационный двигатель с винтом изменяемого шага, введем обозначения: - угол лопасти винта, меняющийся с изменением режима работы двигателяw - скорость винта выходного вала двигателя)

Требуется получить математическую модель двигателя как объекта управления, входящего в скоростью вращения авиационного двигателя.

Первым шагом в составлении уравнений динамики выделенного объекта является установление физического закона, определяющего поведение объекта. Обычно таким законом является закон энергии (объекты регулирования температуры), второй закон Ньютона (объекты регулирования скорости, центробежный маятник и т.п.) или какой-либо из других законов физики.

Вторым шагом должно быть определение факторов, от которых зависят перемен­ные, входящие в исходные уравнения, и установление выражений, характеризующих эту зависимость. Последние могут быть аналитическими функциями или заданы графически.

В большинстве случаев они являются нелинейными выражениями. Подставив их в исход­ное уравнение, получим нелинейное уравнение рассматриваемого объекта САУ.

Для нашего примера на основе второго закона Ньютона можно записать исходное уравнение

clip_image048,

где J- момент инерции движущихся частей, приведенный к валу двигателя;

Mg — момент, развиваемый двигателем;

Mс — момент сил сопротивления на валу двигателя;

t - время.

Теперь необходимо установить, от каких величин и какими выражениями опреде­ляется движущий момент Mg, момент сопротивления Мc и является ли постоянной величиной приведенный момент инерции J.

Движущий момент зависит от угловой скорости двигателя w и величины наддува, которая задается летчиком и не может быть заранее определена (является неизвестной функцией времени). Поэтому можно написать

Mg=Mg(w, t).

Момент сопротивления зависит от угловой скорости двигателя , угла установки лопасти винта и ряда других факторов (плотности воздуха, скорости полета и дризмерение которых затруднительно. Допустим, что выражение для момента сопротивле­ния имеет вид

Mc w ,j, t).

На основании теории двигателей можно получить аналитическое выражение полу­ченных функций или представить в виде графиков. Момент инерции вращающихся частей будем считать постоянными.

Для линеаризации нелинейных уравнений необходимо конкретизировать понятие "заданный режим". При этом возможны два варианта:

первоначальное состояние равновесия, т.е. режим, существовавший до действия возмущения и начала переходного процесса;

установившийся режим после затухания переходных процессов, вызванных внеш­ним

Для данного случая уравнение установившегося режима можно записать в виде равенства на валу двигателя моментов

clip_image050 (2.6)
далее примем:

clip_image052.

Подставляя в исходное уравнение (2.5) варьированные переменные, получим:

clip_image054. (2.7)

Вычитая из уравнения (2.7) уравнение (2.6), получим уравнение возмущенного движения в отклонениях (вариациях)

clip_image056. (2.8)

Произведем линеаризацию нелинейных уравнений и найдем отдельно каждое из приращений DMg и DMc:

clip_image058

Здесь через DMg(t) и DMc(t) обозначим составляющие приращений DMg и DMc изменяющиеся во времени по неизвестному или заданному закону.

Таким образом, можно записать

clip_image060.

Перенося в левую часть члены, содержащие Dw , и обозначив DMg(t)-DMc(t)=DM(t) найдем

clip_image062. (2.9)

Таким образом, мы получили линейное уравнение первого приближения, записан­ное в абсолютных величинах. Все члены уравнения имеют размерность момента.

Полученное уравнение первого приближения обычно приводят к уравнению в от­носительных единицах с безразмерными коэффициентами. Такая форма записи уравне­ний весьма удобна, так как избавляет от необходимости в каждом конкретном случае согласовывать размерности отдельных уравнений, входящих в систему, а также дает возможность свести изучение и сравнение динамических свойств большого разнообразия элементов самой различной физической природы к изучению свойств ограниченного числа типовых динамических звеньев комбинаций.

Для приведения уравнения (2.9) к безразмерному виду его следует поделить на некоторую постоянную величину, имеющую размерность членов этого уравнения мерность момента). Такой величиной обычно выбирают номинальное, максимальное или некоторое начальное значение данной переменной.

Поделим все члены уравнения (2.9) на величину номинального Мн момента двига­теля и получим уравнение с безразмерными членами:

clip_image064. (2.10)

Перейдем к относительным единицам.

Выберем некоторые постоянные значения для каждой координаты, для каждого приращения, входящего в полученное уравнение. Умножим и разделим каждый член уравнения, в который входит та или иная переменная, на соответствующую ей постоян­ную величину:

clip_image066. (2.11)

Введем обозначения:

clip_image068- выходная координата;

clip_image070- входное управляющее воздействие;

clip_image072- постоянная времени, характеризующая время разгона;

clip_image074- возмущающее воздействие;

clip_image076- коэффициент самовыравнивания;

clip_image078- коэффициент регулирующего воздействия.

В этом случае уравнение (2.10) преобразуется к виду

clip_image080. (2.12)

В уравнении (2.12) коэффициент при производной имеет размерность времени в степени, равной порядку производной. В общем случае при первой производной — с, при второй — спри третьей — си т.д. Такая форма записи уравнений называется первой формой или формой Стодолы.

Обозначив d/dt = p уравнение (2.12) можно записать в символическом виде и в форме, принятой в ТАУ:

clip_image082 (2.13)

Уравнения (2.12) и (2.13) являются линейной математической моделью стационар­ного непрерывного объекта, составленной в форме "вход-выход".

При линеаризации уравнений элементов (с не аналитическими статическими харак­теристиками) может быть использован метод усреднения

 

clip_image084

Рис. 2.4

На рис.2.4 показана зависимость в установившемся режиме угловой скорости вра­щения wg двигателя постоянного тока от величины управляющего напряжения Uвх.

Уравнение линеаризации

Dw g=Kg DUвх, где Kg=tga.

Линию усреднения проводят таким образом, чтобы минимальная относительная ошибка была clip_image086. 

Вы здесь: Главная Кибернетика и автоматика ТАУ Теория автоматического управления. Лекция 3: Математическое описание автоматических систем управления