link5920 link5921 link5922 link5923 link5924 link5925 link5926 link5927 link5928 link5929 link5930 link5931 link5932 link5933 link5934 link5935 link5936 link5937 link5938 link5939 link5940 link5941 link5942 link5943 link5944 link5945 link5946 link5947 link5948 link5949 link5950 link5951 link5952 link5953 link5954 link5955 link5956 link5957 link5958 link5959 link5960 link5961 link5962 link5963 link5964 link5965 link5966 link5967 link5968 link5969 link5970 link5971 link5972 link5973 link5974 link5975 link5976 link5977 link5978 link5979 link5980 link5981 link5982 link5983 link5984 link5985 link5986 link5987 link5988 link5989 link5990 link5991 link5992 link5993 link5994 link5995 link5996 link5997 link5998 link5999 link6000 link6001 link6002 link6003 link6004 link6005 link6006 link6007 link6008 link6009 link6010 link6011 link6012 link6013 link6014 link6015 link6016 link6017 link6018 link6019 link6020 link6021 link6022 link6023 link6024 link6025 link6026 link6027 link6028 link6029 link6030 link6031 link6032 link6033 link6034 link6035 link6036 link6037 link6038 link6039 link6040 link6041 link6042 link6043 link6044 link6045 link6046 link6047 link6048 link6049 link6050 link6051 link6052 link6053 link6054 link6055 link6056 link6057 link6058 link6059 link6060 link6061 link6062 link6063 link6064 link6065 link6066 link6067

Теория автоматического управления. Лекция 3: Математическое описание автоматических систем управления

2.7. Типовые звенья и их характеристики

Типовыми называют динамические звенья, описываемые дифференциальными уравнениями не выше второго порядка. Основные типы звеньев делят на три группы: позиционные, дифференцирующие и интегрирующие.

Позиционными называют звенья, выходная и входная величины которых связаны пропорциональной зависимостью в установившемся режиме.

В общем случае передаточная функция такого звена имеет вид

clip_image207 (2.32)

Передаточную функцию типового звена обычно приводят к стандартному виду (свободные члены полиномов равны l):

clip_image209 (2.33)
где clip_image211

clip_image213

Интегрирующими называют звенья, выходную и входную величины которых в установившемся режиме связывает интегральная зависимость.

Если в выражении (2.17) коэффициент а0=0, то передаточная функция W(S) имеет вид

clip_image215 (2.34)
где N1(S) имеет свободный член, равный 1.

Передаточная функция W(S) содержит одно интегрирующее звено (сомножитель знаменателя S имеет первую степень). У дифференцирующих звеньев в выражении (2.32) отсутствует свободный член числителя, т.е. для однократно дифференцирующего звена будет

clip_image217 (2.35)
где М1( S) имеет свободный член, равный 1; clip_image219

Интегрирующие и дифференцирующие звенья более высоких порядков получают из (2.32) в случае равенства 0 коэффициентов более высоких порядков соответственно знаменателя и числителя передаточной функции.

Знание характеристик типовых звеньев столь же необходимо для расчетов систем управления, как знание таблицы умножения в арифметике.

2.7.1. Позиционные звенья
Идеальное пропорциональное (безынерционное) звено

К таким звеньям относятся элементы САУ, инерция которых пренебрежительно мала по сравнению с инерцией всей системы. К таким звеньям электромеханических систем можно отнести рычажную механическую передачу, ламповые и транзисторные усилители, потенциометрические датчики и т.п.

Уравнения и передаточная функция звена

clip_image221

clip_image223

Рис. 2.15

Амплитудно-фазовая характеристика (рис.2.15);

clip_image225

ЛАХ имеет вид clip_image227

Поскольку АЧХ A(w) не зависит от частоты, то и ЛАХ представляет собой прямую линию, проведенную параллельно оси абсцисс на высоте, равной ординате clip_image229 (дБ).

Переходная функция clip_image231

Импульсно-переходная функция clip_image233

Инерционное (апериодическое) звено первого порядка

 Уравнение и передаточная функция звена

clip_image235.

Частотная передаточная функция (АФХ)

clip_image237 .

Умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряженную знаменателю функцию, получим

clip_image239

Вещественная частотная ВЧХ U(w) и мнимая V(w) МЧХ частотная характеристики:

clip_image241, clip_image243.

Амплитудная АЧХ и фазовая ФЧХ частотные характеристики (рис.2.16,б):

clip_image245 (2.36)

clip_image247 (2.37) 

АФХ (рис.2.16,а) представляет собой полуокружность для частот clip_image249. Действительно, clip_image251.

Сравнивая выражения U(w) и A(w), видим, чтоclip_image253
Тогда clip_image255

clip_image257.

представляет собой уравнение окружности при изменении частоты -¥ £ w £ +¥.

Радиус этой окружности clip_image259, центр ее располагается по положительной оси U(w) на удаленииclip_image261.

clip_image263

а б

Рис. 2.16.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (рис.2.17,а)

clip_image265.

Для построения ЛАХ примем К1= 1 и рассмотрим три участка ЛАХ:

clip_image267

В области высоких частот при clip_image269 ЛАХ является линейной функцией логарифма частоты и обращается в нуль, т.е. сопрягается с выражением Lm(w) в области низких частот при частоте clip_image271, называемой сопрягающей частотой. Если увеличить частоту w в 10 раз, clip_image273, то получим

clip_image275

Таким образом, в области высоких частот ЛАХ апериодического звена представляется прямой линией с наклоном -20дБ/дек.

В дальнейшем наклоны ± 20дБ/дек, ± 40дБ/дек будем обозначать соответственно ±1, ±2.

Наибольшее отличие асимптотической ЛАХ от точной будет на частоте сопряжения clip_image277, равно -3 дБ.

Если коэффициент К1 апериодического звена не равен 1 (clip_image279), то при clip_image281ЛАХ смещается параллельно вверх на величину 20 lg, а при - вниз вдоль оси ординат на . 

Рис. 2.17

Переходная функция, согласно решению уравнения звена, при и нулевых начальных условиях представляет собой экспоненту (рис.2.17.в) и описывается выражением

.

Импульсно-переходная (весовая) функция (рис.2.1.г)

.

Примером апериодического звена могут быть: электродвигатель постоянного тока (в первом приближении), если - управляющее напряжение, — угловая скорость вала двигателя; сглаживающие L-R и R-С — фильтры (рис.2.18).

Рис. 2.18

Инерционное звено второго порядка

Вид дифференциального уравнения

, ,

, .

Передаточная функция

.

При выполнении условия

корни характеристического уравнения

,
будут вещественными.

В этом случае инерционное звено 2-го порядка называют апериодическим звеном 2-го порядка. Его передаточная функция

,

Рис. 2.19, а

Переходная характеристика (рис.2.19,а)

где

АФЧХ (рис.2.19,б)

АЧХ

ФЧХ (рис.2.20)

 

 ЛАХ (рис.2.20)

Рис. 2.19, б Рис. 2.20

Если , то частоты сопряжения сходятся в одну точку.

Примером такого звена является двигатель постоянного тока при учете инерционности цепи якоря, электромашинный усилитель.

Если выполняется условие , то корни характеристического

уравнения - комплексные.

 

 Инерционное звено 2-го порядка с передаточной функцией

называется колебательным;

 — параметр затухания (коэффициент относительного демпфирования).

Переходная характеристика (рис.2.21)

  

Рис. 2.21

Амплитудно-фазовая характеристика (рис.2.22);

(2.39)

Рис. 2.22

(2.40)

ЛАХ и ФЧХ (рис.2.23):

(2.41)

1)

 

Рис.2.23 

2)

Пусть , , следовательно а

При

При

3) 

Таким образом, асимптотическая ЛАЧХ в области низких частот параллельна оси частот, а при имеет наклон "-2", т.е. -40 дБ/дек.

При значениях характеристика близка к ломаной. Если же , то получится заметный горб (резонансный пик). Имеются шаблоны для вычерчивания точной ЛАХ. В упрощенных расчетах достаточно находить величину резонансного пика на частоте сопряжения:

Примерная последовательность действий при построении ЛЧХ звена 2-го порядка

Консервативное звено

В частном случае ( = О) колебательное звено вырождается в консервативное звено с передаточной функцией

Частотная передаточная функция

(2.42)

АЧХ

(2.43)

При АЧХ претерпевает разрыв ФЧХ, как это следует из годографа (рис.2.24,а), АФХ имеет вид

(2.24)

Переходная функция  

В установившемся режиме в консервативном звене возникают незатухающие гар­монические колебания (рис.2.24,б).

ЛАХ (рис.2.25) на частоте также имеет разрыв.

Неустойчивые (неминимально-фазовые) звенья

При рассмотрении инерционных звеньев первого и второго порядков было показано, что переходные характеристики изменялись по затухающему апериодическому или колебательному закону. Это обусловлено тем, что характеристические уравнения этих звеньев не имели вещественных положительных корней или комплексных корней с положительной вещественной частью. Особенностью этих звеньев является наличие минимального фазового сдвига, характеризуемого ФЧХ .

Однако существуют звенья, у которых корни характеристических уравнений имеют положительные вещественные части. Переходные характеристики таких звеньев имеют расходящийся характер, такие звенья являются неустойчивыми и имеют следующие передаточные функции:

,

, (2.45)

Характеристическое уравнение неустойчивого апериодического звена имеет положительный вещественный корень:

Рис. 2.26

 

Переходная характеристика (рис.2.26) имеет апериодический расходящийся вид. Частотные характеристики такого звена:

.

Сравнивая это выражение с выражением для апериодического устойчивого звена, видим, что АЧХ звеньев совпадают, а фазовый сдвиг во втором случае значительно больше. Эта особенность характерна для всех звеньев (2.45). Поэтому неустойчивые звенья относятся к так называемым неминимально-фазовым звеньям. По аналогии САУ, содержащие такие звенья, называют неминимально-фазовыми системами.

В минимально-фазовых системах существует аналитическая зависимость между АЧХ и ФЧХ. Благодаря этой зависимости можно по АЧХ минимально-фазовой САУ (звена) определить фазовый сдвиг на некоторой частоте по формуле Н.Винера

(2.47)
где  выражено в радианах.

Для ЛЧХ фазовый сдвиг в минимально-фазовых САУ определяется наклоном асимптотической ЛАХ вблизи рассматриваемой частоты .

Следует понять и запомнить следующее:

если ЛАХ параллельна оси абсцисс, то при

если ЛАХ представляет собой прямую с наклоном ±20дБ/дек, то±90°;а при наклоне ±40дБ/дек при.

Рис. 2.27

В неминимально-фазовых системах (звеньях) такая аналитическая зависимость между АЧХ и ФЧХ отсутствует, при этом фазовый сдвиг будет больше в неминимально-фазовой системе. На рис.2.27 приведены ЛЧХ устойчивого и неустойчивого апериодических звеньев. Из рис.2.27 видно, что ФЧХ в области низких частот имеет значительно большее по модулю значение, чем ФЧХ устойчивого звена. В неминимально-фазовых САУ труднее компенсировать фазовые сдвиги, чем в минимально-фазовых, поэтому такие системы имеют относительно худшие показатели качества.

Основные сведения об элементарных неминимально-фазовых звеньях приведены в табл. 2.1. ЛАХ этих звеньев строится аналогично ЛАХ соответствующих минимально- фазовых звеньев. Также следует учитывать, что некоторые полиномы второго порядка с правым корнем могут быть разложены на произведение полиномов первой степени, например:

Вы здесь: Главная Кибернетика и автоматика ТАУ Теория автоматического управления. Лекция 3: Математическое описание автоматических систем управления