link5772 link5773 link5774 link5775 link5776 link5777 link5778 link5779 link5780 link5781 link5782 link5783 link5784 link5785 link5786 link5787 link5788 link5789 link5790 link5791 link5792 link5793 link5794 link5795 link5796 link5797 link5798 link5799 link5800 link5801 link5802 link5803 link5804 link5805 link5806 link5807 link5808 link5809 link5810 link5811 link5812 link5813 link5814 link5815 link5816 link5817 link5818 link5819 link5820 link5821 link5822 link5823 link5824 link5825 link5826 link5827 link5828 link5829 link5830 link5831 link5832 link5833 link5834 link5835 link5836 link5837 link5838 link5839 link5840 link5841 link5842 link5843 link5844 link5845 link5846 link5847 link5848 link5849 link5850 link5851 link5852 link5853 link5854 link5855 link5856 link5857 link5858 link5859 link5860 link5861 link5862 link5863 link5864 link5865 link5866 link5867 link5868 link5869 link5870 link5871 link5872 link5873 link5874 link5875 link5876 link5877 link5878 link5879 link5880 link5881 link5882 link5883 link5884 link5885 link5886 link5887 link5888 link5889 link5890 link5891 link5892 link5893 link5894 link5895 link5896 link5897 link5898 link5899 link5900 link5901 link5902 link5903 link5904 link5905 link5906 link5907 link5908 link5909 link5910 link5911 link5912 link5913 link5914 link5915 link5916 link5917 link5918 link5919

Теория автоматического управления. Лекция 3: Математическое описание автоматических систем управления

2.6. Основные характеристики САУ

Характеристики САУ делят на временные и частотные.

2.6.1. Временные характеристики

1. Переходная функция

Переходной функцией h(t) называют реакцию звена или системы на единичное ступенчатое воздействие 1(t) на входе при нулевых начальных условиях:

clip_image159
откуда

clip_image161 (2.27)

clip_image163

Рис. 2.9.

2. Импульсная переходная или весовая функция

Импульсной переходной или весовой функцией звена (системы) называют реакцию звена (системы) на единичное импульсное воздействие при нулевых начальных условиях (рис.2. 10).

Импульсная переходная функция представляет собой оригинал (обратное преобра­зование Лапласа передаточной функции). Зная импульсную переходную функцию k(t), можно определить передаточную функцию звена (системы):

clip_image165

Рис 2.10.

clip_image167

clip_image169

clip_image171

clip_image173

clip_image175 (2.28)

2.6.2. Частотные характеристики

Частотными характеристиками называют формулы и графики, характеризующие реакцию звена на гармоническое входное воздействие в установившемся режиме, т.е. вынужденные гармонические колебания звена.

Если на вход звена подается единичный синусоидальный сигнал (рис.2.11)

х(t)=sin wt,

то на выходе будет (в установившемся режиме)

у(t)=А sin (wt+j),

где А - амплитуда (усиление амплитуды);

j — сдвиг фазы относительно входного сигнала.

Применяется символическая запись синусоидальных колебаний в виде clip_image177 (строго говоря, е jwt=cos wt + j sin wt), что геометрически изображается вращающимся единичным вектором (рис.2.12). Проекции последнего на прямоугольные оси дают cos wt и sin wt. Поэтому для суждения о вынужденных синусоидальных колебаниях звена достаточно исследовать реакцию звена на сигнал е jwt.

clip_image179

Рис. 2.11

clip_image181

Рис. 2.12

Пусть уравнение звена имеет вид

 (TS+1)y=KSx. (2.29)

Используем символическую запись:

clip_image183

Подставив эти величины в уравнение звена, получим

clip_image185

откуда

clip_image187

Сравним эти выражения с передаточной функцией звена:

clip_image189 (2.30)

Из сопоставления видно, что

clip_image191 (2.31)

Функцию W(jw) называют частотной передаточной функцией или амплитудно — фазовой частотной передаточной характеристикой (АФХ). Функцию А(w) - амплитудно — частотной характеристикой (АЧХ). Функцию j(w)‑фазовой частотной характеристикой (ФЧХ).

Кроме показательной формы, W(jw) можно представить и в алгебраической:

W(jw)=U(w)+jV(w)=A(w)cos j(w)+jA(w)sin j(w),
где U(w) — вещественная частотная характеристика (ВЧХ);

V (w) — мнимая частотная характеристика (МЧХ).

Связь между частотными характеристиками. clip_image193- т.е. АЧХ представляет собой модуль частотной передаточной функции и определяет, во сколько раз амплитуда выходного гармонического сигнала отличается от амплитуды входного сигнала.

clip_image195 — аргумент передаточной функции W(jw), определяет фазо­вый сдвиг между выходной и входной синусоидами.

clip_image197

Рис. 2.13

АФХ W(jw) может быть изображена как годограф на комплексной плоскости (рис.2.13) в полярных ( А,j ) либо в прямо­угольных координатах ( U, V ). При этом ча­стоту w изменяют от 0 до ¥ (сплошная кривая на рис.2. 13) или же от -¥ до ¥, когда добавляется еще симметричная к ней пунктирная кривая.

Следует отметить, что ВЧХ U(w)=А(w)cos j(w) есть четная функция частоты w, а МЧХ V(w)=А() sin j() - нечетная функция частоты. Этим и объясняется зеркальная симметрия АФХ относительно оси абсцисс.

Логарифмические частотные характеристики. Ускорение и упрощение расчетов САУ достигается при использовании логарифмических амплитудно-частотных характе­ристик и логарифмических фазово-частотных характеристик Такое по­строение было предложено Боде в 1945 г. и получило дальнейшее развитие в трудах ученых и др.

При построении логарифмических частотных характеристик пользуются единицами измерений, заимствованными из других областей науки и техники. Эти еди­ницы служат для оценки коэффициента усиления и диапазона частот. В акустике, и радиотехнике для измерения разности уровней (усиления или ослабления) звуковых или электромагнитных мощностей применяются логарифмическая шкала и безразмерные логарифмические единицы. Для этого существуют следующие основания:

1. Диапазон, в котором изменяется сила (интенсивность) звука, весьма велик: от clip_image199Вт/см(слабые звуки вблизи порога слышимости) до clip_image201Вт/см(громкие звуки, вызывающие болевые ощущения), т.е. изменение в clip_image203раз. Во избежание столь огромных чисел используют их логарифмы и вводят логарифмический масштаб и лога­рифмические единицы.

clip_image205

Рис. 2.14

2. В соответствии с законом Вебера-Фехнера восприятие звука в известных пределах пропорционально десятичному логарифму раздражения, т.е. человеческое ухо реагирует на изменение мощности звука по закону логарифма.

Следует отметить, что А>1 соответству­ет верхняя полуплоскость ЛАЧХ (усиление амплитуды), A<1 (ослабление амплитуды) — нижняя полуплоскость ЛАЧХ; A=1 соответствует значение Lm=0, частота, соответствующая значению Lm=0, называется частотой среза wc.

Вы здесь: Главная Кибернетика и автоматика ТАУ Теория автоматического управления. Лекция 3: Математическое описание автоматических систем управления