Физика полупроводников. Лекция 3
- Физика полупроводников. Лекция 3
- §2. Связь уровня химического потенциала с концентрацией равновесных носителей заряда в невырожденных полупроводниках.
- §3. Концентрация равновесных носителей заряда в собственных невырожденных полупроводниках.
- §4. Концентрация равновесных носителей заряда в невырожденных полупроводниках с одним типом мелких примесных центров и низких температурах.
- §5. Концентрация равновесных носителей заряда в невырожденных полупроводниках с одним типом примесных уровней при высоких температурах.
- §6. Концентрация равновесных носителей заряда в полупроводниках с двумя типами примесных центров и их полной компенсации.
- §7. Равновесная концентрация носителей заряда в частично компенсированных невырожденных полупроводниках.
- §8. Условие перехода полупроводника в вырожденное состояние и равновесная концентрация носителей заряда в полностью вырожденном полупроводнике.
Глава III. Статистика равновесных носителей заряда в полупроводниках.
§1. Функция плотности состояний для электронов и дырок в полупроводниках.
Носителями заряда (тока) называют электроны зоны проводимости и дырки валентной зоны. В общем случае в полупроводнике могут содержаться примеси как донорного, так и акцепторного типов. В этом случае при T > 0 K0 в результате теплового возбуждения электроны будут переходить в зону проводимости переходы (1, 2) и на акцепторные уровни переходы (3).
В результате тепловых переходов 1, 3, образуются носители заряда. Если бы тепловые переходы были единственными, то концентрация носителей заряда непрерывно возрастала бы со временем. С течением времени концентрация электронов была бы , однако эксперименты дают меньшее значение, это связано с тем, что наряду с тепловым возбуждением одновременно протекает обратный процесс — процесс рекомбинации. Это переходы носителей сверху вниз (переходы 1' — 3'). С течением времени устанавливается динамическое равновесие между процессами. В этом случае количество переходов в единицу времени снизу вверх равно количеству переходов сверху вниз. Носители заряда образованные в результате теплового возбуждения и соответствующие состоянию динамического равновесия называются равновесными носителями заряда.
В равновесном состоянии температура кристалла одинакова во всех его точках. В адиабатическом приближении считается, что тепловое движение кристаллической решетки влияет на вероятность заполнения носителями заряда состояний в зонах, но не на сами состояния. В полупроводниках, как и металлах, вероятность заполнения электроном энергетического уровня с энергией определяется функцией распределения Ферми-Дирака:
где — уровень химического потенциала. Эта функция распределения применима только к равновесным носителям заряда, что подчеркивается знаком 0. Из (1) следует, что при T = 0 K0 все уровни с энергией заполнены электронами , а при уровни свободны от электронов. При T > 0 K0 “ступенька” в функции распределения размывается и появляется хвост кривой распределения. При любой T > 0 K0 вероятность заполнения уровня с энергией согласно (1) равна ½. Значит, уровень химического потенциала это такой уровень, который с одинаковой вероятностью может быть заполнен электронами и свободен от них.
(2) функция распределения Ферми-Дирака для дырок. Известно, что объем первой зоны Бриллюэна равен . В зоне Бриллюэна число разрешенных волновых векторов N равно числу элементарных ячеек кристалла. Тогда, на одно разрешенное квантовое состояние будет приходиться объем обратного пространства равный:
где V — объем кристалла. В кристаллах единичного объема на одно разрешенное состояние приходится объем обратного пространства равный . Впредь будем рассматривать кристаллы единичного объема.
Найдем аналогичное выражение для числа состояний в кристаллах единичного объема, которые занимают электроны в интервале энергий от до . Для определенности будем рассматривать зону проводимости, дно которой лежит в центре зоны Бриллюэна ; такую зону имеют кристаллы кубической системы A2B6, A3B5. Как показано нами, такой экстремум характеризуется одной компонентой эффективной массы, т.е. эффективная масса изотропная величина, изоэнергетическая поверхность такого экстремума — сфера. На поверхности такой сферы лежат концы таких разрешенных волновых векторов, которые одинаковые значения модуля равное .
Очевидно число состояний, которым соответствуют волновые вектора, модули которых имеют значение от до , равно отношению объема шарового слоя толщиной к объему пространства, приходящемуся на одно квантовое состояние :
Как известно для сферической изоэнергетической поверхности закон дисперсии имеет параболическую форму:
Из (4) следует, что
Подставим (5) в (3) и получим:
(6) определяет собой число квантовых состояний в кристалле единичного объема, которые занимают электроны с энергией в интервале от до .
(7) — функция плотности состояний для электронов зоны проводимости. Она определяет собой число состояний в кристалле единичного объема приходящегося на единичный интервал энергии вблизи энергии . Видно, что плотность состояний возрастает с энергией электронов, она выше в кристаллах с большей эффективной массой электронов. Видно, что она не зависит от температуры.
Для дырок валентной зоны функция распределения равна:
На рисунке площадь заштрихованного прямоугольника равна:
и численно равна числу электронных состояний в интервале энергий .
На зависимости функции плотности состояний от эффективной массы основан эффект Бурштейна-Масса. Он состоит в смещении края оптического поглощения в фиолетовую область спектра по мере легирования кристалла мелкими примесями.
Для примера рассмотрим два кристалла, которые имеют одинаковые характеристики, но разные эффективные массы электронов.
По мере легирования будет возрастать число электронов в зоне проводимости, при данных уровнях легирования интервал энергии, которые занимают электроны в зоне проводимости будет больше у первого кристалла . Из диаграммы видно, что для межзонных оптических переходов, нужна энергия оптических квантов . Для того, чтобы наблюдать эффект Бурштейна-Масса необходимо выбирать полупроводники с малыми эффективными массами.
У непрямозонных полупроводников: германий, кремний, дно зоны проводимости лежит не в центре зоны Бриллюэна. В общем случае такие экстремумы характеризуются тремя компонентами эффективной массы: . В этом случае выражение для функции плотности имеет вид:
где — эффективная масса плотности состояний, M — число полных эллипсоидов (долин), MSi = 6, MGe = 4. У Ge экстремум зоны проводимости лежит на границе зоны Бриллюэна в точках L на линии [111]. Так как точки L лежат на границе зоны Бриллюэна, то на нее приходится 8 полудолин, т.е. 4 полных долины.
- Prev
- Вперёд >>