Лекции для студентов

Лекция 9. Определение перемещений в упругих системах. Общие понятия

Страница 4 из 5

Начало возможных перемещений

Начало возможных перемещений, являясь общим принципом механики, имеет важнейшее значение для теории упругих систем. Применительно к ним этот принцип можно сформулировать следующим образом: если система находится в равновесии под действием приложенной нагрузки, то сумма работ внешних и внутренних сил на возможных бесконечно малых перемещениях системы равна нулю.

, (2.2.13)

где — внешние силы; — возможные перемещения этих сил; — работа внутренних сил.

Заметим, что в процессе совершения системой возможного перемещения величина и направление внешних и внутренних сил остаются неизменными. Поэтому при вычислении работ следует брать на половину, а полную величину произведения соответствующих сил и перемещений.

Рассмотрим два состояния какой-либо системы, находящейся в равновесии (рис. 2.2.9). В состоянии система деформируется обобщенной силой (рис. 2.2.9, а), в состоянии — силой (рис. 2.2.9, б).

Работа сил состояния на перемещениях состояния , как и работа сил состояния на перемещениях состояния , будет возможной.

(2.2.14)

Вычислим теперь возможную работу внутренних сил состояния на перемещениях, вызванных нагрузкой состояния . Для этого рассмотрим произвольный элемент стержня длиной в обоих случаях. Для плоского изгиба действие удаленных частей на элемент выражается системой усилий , , (рис. 2.2.10, а). Внутренние усилия имеют направления, противоположные внешним (показаны штриховыми линиями). На рис. 2.2.10, б показаны внешние усилия , , , действующие на элемент в состоянии . Определим деформации, вызванные этими усилиями.

Очевидно удлинение элемента , вызванное силами

.

Работа внутренних осевых сил на этом возможном перемещении

. (2.2.15)

Взаимный угол поворота граней элемента, вызванный парами ,

.

Работа внутренних изгибающих моментов на этом перемещении

. (2.2.16)

Аналогично определяем работу поперечных сил на перемещениях, вызванных силами

. (2.2.17)

Суммируя полученные работы, получаем возможную работу внутренних сил, приложенных к элементу стержня, на перемещениях, вызванной другой, вполне произвольной нагрузкой, отмеченной индексом

(2.2.18)

Просуммировав элементарные работы в пределах стержня, получим полное значение возможной работы внутренних сил:

(2.2.19)

Применим начало возможных перемещений, суммируя работу внутренних и внешних сил на возможных перемещениях системы, и получим общее выражение начала возможных перемещений для плоской упругой стержневой системы:

(2.2.20)

Т. е., если упругая система находится в равновесии, то работа внешних и внутренних сил в состоянии на возможных перемещениях, вызванных другой, вполне произвольной нагрузкой, отмеченной индексом , равна нулю.