Лекции для студентов

Лекция 3. Основы теории напряженного состояния.

Обратная задача в плоском напряженном состоянии.

При практических расчетах обычно определяют нормальные и касательные напряжения на некоторых двух взаимно перпендикулярных площадках. Пусть, например, известны напряжения , , ,  (рис. 3.6, а). По этим данным требуется определить величины главных напряжений и положение главных площадок.

Сначала решим эту задачу графически. Примем, что >, а >.

В геометрической плоскости в системе координат  нанесем точку , с координатами ,  и точку  с координатами ,(рис. 3.6, б). Соединив точки  и , находим центр круга — точку  - и радиусом  проводим окружность. Абсциссы точек ее пересечения с осью  - отрезки  и  - дадут соответственно величины главных напряжений  и .

Для определения положения главных площадок найдем полюс и воспользуемся его свойством. Проведем из точки  линию параллельно линии действия напряжения , т. е. горизонталь. Точка  пересечения этой линии с окружностью и является полюсом. Соединяя полюс  с точками  и , получим направления главных напряжений. Главные площадки перпендикулярны к найденным направлениям главных напряжений.

Рис. 3.6

Используем построенный круг для получения аналитических выражений главных напряжений  и :

                   (3.9)

                                           (3.10)

Формула (3.10) определяет единственное значение угла , на который нужно повернуть нормаль , чтобы получить направление алгебраически большего главного напряжения. Отрицательному значению  соответствует поворот по часовой стрелке.

Если одно из главных напряжений окажется отрицательным, а другое положительным, то их следует обозначать  и . Если оба главных напряжения окажутся отрицательными, то их следует обозначать  и .