Лекции для студентов

Лекция 3. Основы теории напряженного состояния.

Страница 1 из 4

 

Лекция 3. Основы теории напряженного состояния.{jcomments on}

Напряжения в точке.

Если мысленно вырезать вокруг какой-нибудь точки тела элемент в виде бесконечного малого кубика, то по его граням в общем случае будут действовать напряжения, представленные на рис. 3.1.

Совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по всем площадкам (сечениям), содержащим какую-либо точку называют напряженным состоянием тела в данной точке

clip_image002

Рис. 3.1

Таким образом, на гранях элементарного параллелепипеда, выделенного в окрестности точки нагруженного тела, действуют девять компонентов напряжения. Запишем их в виде следующей квадратной матрицы:

clip_image004,


 

 

 

где в первой, второй и третьей строках расположены составляющие напряжений соответственно на площадках, перпендикулярных к осям clip_image006, clip_image008, clip_image010. Эта совокупность напряжений называется тензором напряжений.

Закон парности касательных напряжений. Главные площадки и главные напряжения.

Составим уравнение моментов всех сил, приложенных к элементарному параллелепипеду относительно оси clip_image010[1]. (рис. 3.1.).

Силы, параллельные этой оси и пересекающие ее, в уравнение не войдут. Моменты сил clip_image013 на двух гранях, перпендикулярных оси clip_image006[1], уравновешиваются, равно как и моменты сил clip_image016 на верхней и нижней гранях элемента. Таким образом, получаем:

clip_image018

Отсюда следует, что clip_image020.

Аналогично из двух других уравнений находим:

clip_image022                clip_image024

Итак, имеем равенства

clip_image020[1]                clip_image022[1]             clip_image024[1],                                                (3.1)

называемые законом парности касательных напряжений

Закон парности касательных напряжений — касательные напряжения на двух любых, но взаимно перпендикулярных площадках, направленные перпендикулярно к линии пересечения площадок, равны по величине. При этом они стремятся повернуть элемент в разные стороны.

При изменении ориентации граней выделенного элемента меняются также действующие на его гранях напряжения. Можно провести такие площадки, на которых касательные напряжения равны нулю. Площадки, на которых касательные напряжения равны нулю, называются главными площадками, а нормальные напряжения на этих площадках — главными напряжениями.

Можно доказать, что в каждой точке напряженного тела существует три главные взаимно перпендикулярные площадки.

Главные напряжения обозначают clip_image028, clip_image030, clip_image032. При этом индексы следует расставлять так, чтобы выполнялось неравенство 

clip_image028[1]>clip_image030[1]>clip_image032[1].

Если отличны от нуля все три главных напряжения, то напряженное состояние называется трехосным или объемным (рис.3.2, а).

Если равно нулю одно из главных напряжения, то напряженное состояние называется двухосным или плоским (рис.3.2, б).

Если равно нулю два главных напряжения, то напряженное состояние называется одноосным или линейным (рис.3.2, в).


 

clip_image034

Рис. 3.2

Вы здесь: Главная Сопромат Сопромат Лекция 3. Основы теории напряженного состояния.