Лекция 3. Основы теории напряженного состояния.

Плоское напряженное состояние.

При исследовании напряженного состояния элементов конструкций наиболее часто приходится иметь дело с плоским напряженным состоянием. Оно встречается при кручении, изгибе и сложном сопротивлении. Поэтому на нем мы остановимся несколько подробнее.

Рассмотрим элемент, грани которого являются главными площадками. 

clip_image036

Рис. 3.3

По ним действуют положительные напряжения clip_image028[2] и clip_image030[2], а третье главное напряжение clip_image040 (направление clip_image032[2] перпендикулярно к плоскости чертежа).

Проведем сечение I — I, которое определит площадку (clip_image043), характеризуемую положительным углом clip_image043[1]. Напряжения clip_image046 и clip_image048 по этой площадке будут определяться по формулам:

clip_image050                         (3.2)

clip_image052                                          (3.3)


 

Сжимающие главные напряжения подставляют в эти формулы со знаком «минус», а угол clip_image043[2] отсчитывают от алгебраически большего главного напряжения.

Проведем сечение II — II, которое определит площадку clip_image054, перпендикулярную площадке clip_image043[3]. Нормаль clip_image056 к ней образует с направлением clip_image028[3] угол clip_image054[1]

clip_image058.

Подставив в формулы (3.2) и (3.3) значения угла clip_image054[2], будем иметь

clip_image060;                       (3.4)

clip_image062.                                     (3.5)


 

Совокупность формул (3.2) — (3.5) дает возможность находить напряжения по любым взаимно перпендикулярным наклонным площадкам, если известны главные напряжения.

Складывая равенства (3.2) и (3.4), обнаруживаем, что

clip_image064,                                             (3.6)

 

т. е. сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам не зависит от угла наклона этих площадок и равна сумме главных напряжений.

Из формул (3.3) и (3.5) видим, что касательные напряжения достигают наибольшей величины при clip_image066, т. е. по площадкам, наклоненным к главным площадкам под углом clip_image068, причем

clip_image070.                                                  (3.7)


 

Сравнивая формулы (3.3) и (3.5), находим, что

clip_image072                                                       (3.8)

Это равенство выражает закон парности касательных напряжений.

Проведем теперь еще два сечения (рис. 3.3): Сечение ІІІ — ІІІ, параллельное І — І, и сечение ІV – ІV, параллельное ІІ — ІІ. Элемент clip_image074, выделенный четырьмя сечениями из элемента clip_image076 (рис. 3.4, а), будет иметь вид, показанный на рис 3.4, б. Оба элемента определяют одно и то же напряженное состояние, но элемент clip_image076[1] представляет его главными напряжениями, а элемент clip_image074[1] - напряжениями на наклонных площадках.


clip_image078

Рис. 3.4

В теории напряженного состояния можно разграничить две основные задачи.

Прямая задача. В точке известны положения главных площадок и соответствующие им главные напряжения; требуется найти нормальные и касательные напряжения по площадкам, наклоненным под заданным углом clip_image043[4] к главным.

Обратная задача. В точке известны нормальные и касательные напряжения, действующие в двух взаимно перпендикулярных площадках; требуется найти главные направления и главные напряжения. Обе задачи можно решать как аналитически, так и графически.

Вы здесь: Главная Сопромат Сопромат Лекция 3. Основы теории напряженного состояния.