Лекции для студентов

Проектное управления: модели и методы принятия решений — Основы сетевого моделирования в условиях неопределённости

Основы сетевого моделирования в условиях неопределенности

На практике чаще всего допускают, что продолжительность работ, составляющих проект, определена достаточно четко. Преимущества такого подхода к сетевому моделированию комплексных задач вполне очевидны:

• благодаря такой сети получается полное и ясное представление относительно всего комплекса работ; четко выявляются связи всех элементов комплекса;
• выявление критического пути позволяет установить работы, определяющие ход выполнения всего комплекса (т.е. критические работы);
• появляется полная ясность относительно резервов времени, на которые можно откладывать выполнение отдельных работ, не находящихся на критическом пути, а это, в свою очередь, позволяет более эффективно распоряжаться наличными ресурсами.

Однако в реальной жизни очень часто приходится сталкиваться с ситуациями, когда продолжительность работ не может быть определена точно, а лишь приблизительно. Например, в научно-исследовательских проектах, связанных с проведением экспериментов, ученому заранее не известно, сколько потребуется сделать опытов для получения надежного искомого результата. В бизнесе при разработке программы инвестиций заранее неизвестно, сколько времени займет ее согласование в различных инстанциях. При строительстве дома тоже можно допустить ошибку в количестве дней, которые займет рытье котлована под фундамент, а ошибка может быть очень просто связана с недооценкой сложности грунта.

В принципе, могут иметь место два случая: 1) либо работы не являются новыми, и мы знаем приблизительно закон распределения продолжительности выполнения каждой их них, 2) либо эти работы совершенно новые для нас, и закон распределения продолжительности их выполнения нам неизвестен.

В первом случае, известность закона распределения продолжительности выполнения работы автоматически подразумевает известность таких двух его параметров как:

• математическое ожидание m продолжительности выполнения работы;
• дисперсия s2 продолжительности выполнения работы.

Во втором случае, когда точный закон распределения продолжительности выполнения работ неизвестен предполагается, что это распределение подчиняется нормальному закону и описывается b-функцией, которая имеет следующие математическое ожидание и дисперсию:

m = 1/6(O + 4M + P);

s2 =[1/6 (O — P)]2.

Таким образом, в любом случае для оценки продолжительности любой работы мы будем иметь его ожидаемое время (математическое ожидание) и погрешность (дисперсию) этого ожидания.

Процедура построения и разметки сетевого графика в случае со случайной продолжительностью работ ничем не отличается от той, что используется в случае с детерминированной продолжительностью работ. Однако продолжительность найденного критического пути также будет иметь две оценки — ожидаемую и погрешность. Ожидаемая продолжительность критического пути равна сумме ожидаемых продолжительностей критических работ, а погрешность продолжительности критического пути равна сумме дисперсий критических работ.

В этом случае говорить о том, что комплекс работ будет завершен к какой-то определенной дате (т.е. будет иметь какую-то фиксированную продолжительность выполнения Tk), можно лишь с некоторой вероятностью P(Tk < x) = P(TkN < z), определяемой по таблицам стандартного нормального распределения вероятностей, причем

TkN=(x — mk )/sk ,

где: mk — ожидаемая продолжительность критического пути, а sk — квадратный корень из погрешности продолжительности критического пути.

Рассмотрим в качестве примера сетевую модель, определенную следующей табл. 4:

Таблица 4

Работа	Предшественники	Оптимистическая оценка продолжительности	Наиболее вероятная оценка продолжительности	Пессимистическая оценка продолжительности
A	-	4	6	10
B	-	3	5	8
C	-	2	4	7
D	A	6	8	12
E	C	5	10	15
F	A	9	12	16
G	F	15	18	22
H	B,D,E	7	10	16

Результаты расчета ожидаемой продолжительности выполнения работ и ее дисперсии приведены в табл. 5:

Таблица 5

Работа	Ожидаемая продолжительность	Дисперсия продолжительности
A	6,33	1,00
B	5,18	0,69
C	4,17	0,69
D	8,33	1,00
E	10,0	2,78
F	12,17	1,36
G	18,17	1,36
H	10,5	2,25

Сетевой график и его разметка с полученными временными характеристиками работ представлены на рис. 11:

Критический путь сетевого графика, приведенного на рис. 11, составляют работы A–F–G. Ожидаемая продолжительность критического пути равна 6,33 + 12,17 + 18,17 = 36,67, а суммарная погрешность продолжительности критического пути равна 1 + 1,36 + 1,36 = 3,72.

Рисунок 11. Сетевой график по данным из табл. 4 и 5

Однако полученная ожидаемая продолжительность критического пути не означает, что весь комплекс работ, описанный сетевым графиком, будет завершен именно в течение данного промежутка времени. Утверждать, что этот комплекс работ будет завершен именно в данный промежуток времени, можно только с вероятностью 0,5, так как:

P(Tk < (37,7–36,7)/1,93)= P(TkN < 0) Þ 0,5.

Если отобразить графически кривую нормального распределения вероятностей, которому соответствует, как предполагается, распределение вероятностей продолжительности выполнения комплекса работ, то нетрудно увидеть, что кумулятивная вероятность до математического ожидания будет равна именно половине всей площади под кривой распределения (см. Рис. 12).

Рисунок 12. Кривая нормального стандартного распределения вероятностей

С таким же успехом можно определить вероятность завершения комплекса работ до любого директивного срока Х, например, до Х=38. Тогда:

P(Tk £ (38-36,7)/1,93)= P(TkN < 0,69) Þ 0,7549.

Кроме того, можно решить и обратную задачу, т.е. определить тот срок, к которому рассматриваемый комплекс работ может завершиться с некоторой заданной вероятностью Pd. Зная Pd, можно воспользоваться нормальным стандартным распределением (в форме таблиц или с помощью известной функциональной зависимости, описываемой интегралом нормального стандартного распределения ) и найти zd, а имея zd, продолжительность критического пути Тd, соответствующая заданной вероятности Pd, будет равна Тd= zdsk + mk.

Так, для рассматриваемого здесь примера промежуток времени, в течение которого комплекс работ, описываемых сетевым графиком, будет завершен с вероятностью 0,95, равен:

Pd = 0,95 Þ zd = 1,65 Þ Тd = zdsk + mk = 1,65 ´ 1,93 + 36,67 = 39,85.

Практически любой учебник по теории вероятностей содержит таблицы нормального стандартного распределения вероятности, которые можно использовать для решения описанной выше задачи.

Анализ соотношения между временем и затратами на выполнение проекта

Проектное управление, как уже отмечалось, базируется на теории и методах сетевого моделирования. Однако сетевые модели являются упрощенными представлениями реальных ситуаций, прежде всего, из-за того, что в них главное внимание сосредотачивается только на сроках выполнения отдельных работ и комплекса в целом, но совсем не учитывается потребность в ресурсах, их стоимость и наличие.

В реальных условиях выполнение отдельных или даже всех работ проектного комплекса можно ускорить путем выделения для них большего количества ресурсов (финансовых, трудовых, материальных). Это, конечно же, приводит к увеличению общих прямых затрат на выполнение работ. Вместе с тем, появляется множество различных комбинаций продолжительностей работ, при которых может быть получена некоторая требуемая плановая продолжительность проекта. Каждая комбинация может давать различные значения общей стоимости проекта.

Анализ соотношения между сроками и затратами имеет целью составление календарного плана, обеспечивающего минимальные затраты при данной продолжительности проекта.

Рассмотрим в качестве примера простой проект, состоящий из 8-ми работ, исходная информация по которым представлена в табл. 6.

Таблица 6

Работа	Нормальные сроки	Сжатые сроки	Суточное прираще ние затрат, доллары
Текущая	Предшеств.	Продолж., сутки	Затраты, доллары	Продолж., сутки	Затраты, доллары
A	-	4	210	3	280	70
B	-	8	400	6	560	80
C	A	6	500	4	600	50
D	A	9	540	7	600	30
E	B,C	4	500	1	1100	200
F	B,C	5	150	4	240	90
G	E	3	150	3	150	0
H	D,F	7	600	6	750	150
			3050		4280

Сетевая модель проекта показана на рис. 13.

Рисунок 13. Сетевая модель проекта по данным табл. 6

Каждая работа может выполняться за разное время — от верхнего “нормального” срока при некоторых “нормальных” затратах до меньшего “сокращенного” срока при соответствующих более высоких затратах. Если предполагается, что компромиссное соотношение между временем и затратами для каждой работы является линейным, то затраты при промежуточных продолжительностях работы, лежащих между нормальными и сокращенными сроками, легко определить с помощью единичного (суточного) приращения затрат для каждой работы. Например, затраты на выполнение работы В за 7 суток вместо 8 равны 400 долл. + (8-7) х 80 долл. = 480 долл.

Если заданы “нормальные” продолжительности всех работ, то продолжительность проекта составит 22 суток, что видно из рис. 14

.

Рисунок 14

Как показано на рис. 15, соответствующая стоимость выполнения всего проекта составит 3050 долларов. Заметим, что принятие неправильного решения, согласно которому ускоряется выполнение работ, не лежащих на критическом пути, не приводит к сокращению продолжительности проекта. Однако при этом стоимость проекта возрастает до величины 3870 долларов. Таким образом, “сжимать” сроки выполнения проекта можно по-разному, и задача состоит в том, чтобы сжимать с минимально возможным увеличением общей стоимости проекта.

В рассматриваемом примере общая стоимость проекта определяется суммой прямых затрат на выполнение каждой из работ.

Между верхним и нижним значениями стоимости проекта при продолжительности 22 суток возможны несколько других значений в зависимости от того, срок выполнения каких некритических работ сокращается.

Если устанавливаются сокращенные сроки выполнения всех работ, то продолжительность осуществления проекта можно сократить до 17 суткам, но, как видно из рис. 15, стоимость проекта при этом возрастет до суммы в 4280 долларов. Однако, продолжительность проекта, равную 17 суток, можно достигнуть при меньших затратах без ненужного ускорения отдельных работ. Так, работа B может продолжаться не 6, а 7 суток, работа D — не 7, а 8 суток, а работа E — не 1, а 4 суток. Если все остальные работы выполняются в свои “сжатые” сроки, стоимость выполнения проекта в течение 17 суток снижается до 3570 долларов.

Рисунок 15

В рассмотренном простом примере линия минимальных прямых затрат была построена методом проб и ошибок. Однако в реальных случаях, когда рассматриваются проекты с сотнями и тысячами работ, такая технология поиска решения невозможна. Поэтому применяются различные систематические вычисления, в том числе и методы математического программирования, позволяющие быстро определить кривую минимальных затрат при любом возможном значении продолжительности проекта. Некоторые из таких методов предназначены для использования в тех случаях, когда компромиссные соотношения между временем и затратами являются нелинейными; многие из них позволяют получить кривую минимальных общих затрат (равных сумме прямых и косвенных затрат).

Если прямые затраты определяются для каждой работы в отдельности и зависят, как правило, от объема и интенсивности использования привлекаемых для ее выполнения ресурсов, то косвенные затраты рассчитываются на проект в целом и поэтому их величина, как правило, исчисляется в пересчете на каждую единицу времени проекта (затрат/час, затрат/день и т.п.).

Минимизация общей стоимости при заданной продолжительности проекта

Если предполагается, что продолжительность проекта не должна (или не может) меняться по каким-либо причинам, то косвенные затраты как часть общей стоимости проекта могут не учитываться при расчетах, так как они остаются постоянной величиной. Поэтому общая стоимость проекта в данном случае будет равна сумме прямых затрат, зависящих от продолжительности каждой работы в отдельности.

Продолжительность любой работы проекта можно регулировать количеством ресурсов, выделяемых для ее выполнения. В общем случае можно предположить, что эта продолжительность может изменяться между двумя границами (пессимистической оценкой) и (оптимистической оценкой). Однако, в отличие от метода PERT, в данном случае считается, что продолжительностью работ можно управлять путем выделения на их выполнение больших или меньших ресурсов. Продолжительность работы соответствует нормальному времени работы (i,j) и ее минимальной стоимости и называется нормальной продолжительностью. Продолжительность работы соответствует такому времени выполнения работы (i,j), когда она ускорена до предела. Она называется сжатой продолжительностью. Стоимость выполнения работы в такие сроки максимальна.

Обозначая через c_ij стоимость работы (i,j), можно допустить, что C_ij = f_ij(t_ij) в общем случае представляет из себя функцию нелинейного вида, как показано на рис. 16. Стоимость возрастает, когда убывает вплоть до границы , за которой работа уже просто не может выполняться. Представляется весьма правдоподобным, что функция продолжительности работы проходит через очень пологий минимум и затем возрастает в силу ненормальных условий работы, связанных, например, с недостатком рабочей силы или материалов. Таким образом, ее форма скорее напоминает параболу.

Рисунок 16

В то же самое время практика показывает, что чаще всего c_ij на отрезке d_ij £ t_ij £ D_ij является линейной функцией от t_ij, для которой несложно найти коэффициент обратной пропорциональности s_ij продолжительности и стоимости работы, если известны стоимость нормальной продолжительности N_ij и стоимость “сжатой” продолжительности R_ij:

Пример расчета таких коэффициентов пропорциональности приведен в табл. 7.

Таблица 7

Работа	Предшеств.	(дни)	(дни)	($)	($)	($ в день)
A	-	9	3	900	6300	900
B	-	7	6	2800	3300	500
C	A	10	2	7000	16600	1200
D	A	12	6	8400	13800	900
E	B	12	4	7200	12800	700
F	D,E	6	6	4900	4900	0
G	D,E	6	4	3000	6200	1600
H	G	14	12	4200	5200	500
I	G, F	8	3	3200	6700	700

Построим опорный (первоначальный) план выполнения описанного в табл. 7 проекта, взяв в качестве исходных продолжительностей работ комплекса любые значения в интервале d_ij £ t_ij £ D_ij, построим сетевую модель, соответствующую этим исходным данным (см. Рис. 17), и рассчитаем свободные резервы времени работ (см. Табл. 8).

Рисунок 17. Сетевая модель проекта по данным табл. 7

Таблица 8

Работа	(дни)		Свободный резерв		Экономия общей стоимости
A	7	2	0	0	0
B	6	1	0	0	0
C	4	6	10	6	7200
D	8	4	0	0	0
E	8	4	1	1	700
F	6	0	0	0	0
G	5	1	0	0	0
H	12	2	0	0	0
I	5	3	6	3	2100

Для уменьшения общей стоимости проекта при сохранении продолжительности его выполнения в пределах продолжительности критического пути, необходимо уменьшить свободные резервы времени некритических работ с соблюдением условия d_ij £ t_ij £ D_ij. Теоретически у каждой работы есть резерв “растяжения” (D_ij — t_ij), однако не у всех работ есть свободный резерв времени, а даже у тех работ, которые имеют свободный резерв времени, он может быть значительно меньше теоретического резерва “растяжения”. Поэтому, корректирующее воздействие на “растяжение” k_ij с целью уменьшения общей стоимости проекта в пределах продолжительности установленного критического пути для работы (i,j) определяется соотношением k_ij = min {(D_ij-t_ij)FF_ij}, где FF_ij — свободный резерв работы (i,j).

В рассматриваемом примере может быть увеличена продолжительность только трех работ — C, E, I, причем продолжительность выполнения работы C может быть увеличена на 6 дней, E — на 1 день и I — на 3 дня. Суммарная экономия общей стоимости проекта будет равна 1200 х 6+700 х 1+700 х 3 = 10000. До сжатия общая стоимость проекта равнялась 62200, после “растяжения” трех указанных работ она стала 52200.

В данном примере критический путь остался без изменений. Однако, в других случаях после “растяжения” могут появиться новые критические пути и работы, на которые придется обращать основное внимание.

Не следует думать, что полученный в результате проделанной процедуры “растяжения” план проекта является оптимальным по стоимости и времени. Был получен план, минимальный по стоимости при заданной продолжительности критического пути, который в общем случае может быть очень далек от оптимального.

Если задаваемая продолжительность меньше критического пути опорного плана, то сначала последовательно “сжимаются” работы на критическом пути (по принципу “чем дешевле сжатие, тем раньше оно должно быть выполнено”), а затем проделывается описанная выше процедура.

Ускорение проекта при минимизации его общей стоимости

Более близкий к оптимальному план выполнения проекта может быть получен посредством осуществления процедуры ускорения проекта при минимизации общей стоимости. При этом общая стоимость должна включать как сумму прямых, так и сумму косвенных затрат.

Добавим к рассмотренному в предыдущем пункте примеру условие, что косвенные затраты на реализацию проекта определяются из расчета $ 1500 в день. Кроме того, выберем в качестве опорного плана проекта его так называемый “нормальный” план, когда продолжительность выполнения каждой из работ комплекса максимальна, т.е. “нормальна”. Все остальное, в том числе логика выполнения работ, коэффициенты пропорциональности стоимости и продолжительности их выполнения, остаются без изменения.

Временные параметры нового опорного плана (см. Табл. 9), естественно, будут отличаться от тех, что представлены на рис. 17.

Таблица 9

Работа	Предшественники	(дни)	Свободный резерв
A	-	9	0
B	-	7	0
C	A	10	8
D	A	12	0
E	B	12	2
F	D,E	6	0
G	D,E	6	0
H	G	14	0
I	G,F	8	6

Сетевая модель, соответствующая этим исходным данным, представлена на рис. 18.

Рисунок 18. Сетевая модель проекта по данным табл. 9

Критический путь проекта в опорном плане — [A,D,G,H], а его продолжительность равна 41 дню. Общая стоимость проекта в опорном плане равна:

• Прямые затраты: 900+2800+7000+8400+7200+4900+3000+4200+3200=41600
• Косвенные затраты: 1500 х 41 = 61500
• Всего: 103100

Алгоритм поиска плана, одновременно ускоряющего выполнение и минимизирующего общую стоимость проекта, предполагает выполнение следующих действий.

Поскольку ускорение выполнения проекта всегда связано с ускорением выполнения критических работ, постольку алгоритм предполагает уделение критическим работам основного внимания.

На каждом шаге из числа критических работ выбирается такая работа, которая может дать максимальное сокращение критического пути. Сжатие выбранной работы не должно превышать минимального свободного резерва, который рассчитан для всех работ данного варианта плана проекта (исключая 0). Если таких работ несколько, то выбирается та из них, которая имеет наименьший коэффициент обратной пропорциональности s. Если имеется несколько критических путей, то для того, чтобы получить эффект ускорения проекта в целом, сжатие критических работ должно производиться одновременно на всех этих путях. Производится “сжатие” выбранной работы (работ), строится новый план проекта, рассчитываются его временные параметры, определяются новая сумма прямых затрат (с учетом прироста стоимости выполнения сокращенной работы) и сумма косвенных затрат (с учетом новой продолжительности критического пути). Если общая стоимость проекта в новом варианте его плана оказывается меньше (либо равной), чем в предыдущем варианте, то новый вариант принимается за опорный и описанная выше процедура его ускорения повторяется. Если же общая стоимость проекта в новом варианте оказывается больше, чем в предыдущем варианте, то принимается решение об остановке алгоритма, а за оптимальный берется предыдущий вариант плана.

Применим описанный алгоритм к примеру, приведенному выше.

Таблица 10

Рисунок 19. Сетевая модель проекта после 1 шага алгоритма ускорения

Рисунок 20. Сетевая модель проекта после 2 шага алгоритма ускорения

Рисунок 21. Сетевая модель проекта после 3 шага алгоритма ускорения

Все последующие сжатия работ приводят к удорожанию проекта в целом, так как экономия на косвенных затратах не перекрывает дополнительных прямых затрат. Следовательно, после 3 шага получен оптимальный план проекта.

В табл. 11 представлены продолжительности работ и свободные резервы времени их выполнения на каждом шаге алгоритма оптимизации.

Таблица 11

	Шаг 1	Шаг 2	Шаг 3	Шаг 4
Работа	/	Свободный резерв	/	Свободный резерв	/	Свободный резерв	/	Свободный резерв
A	9 / 6	0	9 / 6	0	9 / 6	0	8 / 5	0
B	7 / 1	0	7 / 1	0	7 / 1	0	6 / 0	0
C	10 / 8	8	10 / 8	8	10 / 8	6	10 / 8	6
D	12 / 6	0	12 / 6	0	10 / 4	0	10 / 4	0
E	12 / 8	2	12 / 8	2	12 / 8	0	12 / 8	0
F	6 / 0	0	6 / 0	0	6 / 0	0	6 / 0	0
G	6 / 2	0	6 / 2	0	6 / 2	0	6 / 2	0
H	14 / 2	0	12 / 0	0	12 / 0	0	12 / 0	0
I	8 / 5	6	8 / 5	4	8 / 5	4	8 / 5	4