Лекции для студентов

Лекция 6. Чистый изгиб. Поперечный изгиб.

Определение поперечных сил и изгибающих моментов.

Как уже было сказано, при плоском поперечном изгибе в поперечном сечении балки возникают два внутренних силовых фактора  и .

Перед определением  и  определяют реакции опор балки (рис. 6.3, а), составляя уравнения равновесия статики.

Для определения  и  применим метод сечений. В интересующем нас месте сделаем мысленный разрез балки, например, на расстоянии  от левой опоры. Отбросим одну из частей балки, например правую, и рассмотрим равновесие левой части (рис. 6.3, б). Взаимодействие частей балки заменим внутренними усилиями  и .

Установим следующие правила знаков для  и :

·         Поперечная сила  в сечении положительна, если ее векторы стремятся вращать рассматриваемое сечение по часовой стрелке;

·         Изгибающий момент  в сечении положителен, если он вызывает сжатие верхних волокон.

 

Рис. 6.3

Для определения данных усилий используем два уравнения равновесия:

1.  ; ; .

2.  ;

;

Таким образом,

а) поперечная сила  в поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на поперечную ось сечения  всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения;

б) изгибающий момент в поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов (вычисленных относительно центра тяжести сечения) внешних сил, действующих по одну сторону от данного сечения.

При практическом вычислении руководствуются обычно следующим:

1.                       Если внешняя нагрузка стремится повернуть балку относительно рассматриваемого сечения по часовой стрелке, (рис. 6.4, б) то в выражении для  она дает положительное слагаемое.

2.                       Если внешняя нагрузка создает относительно рассматриваемого сечения момент, вызывающий сжатие верхних волокон балки (рис. 6.4, а), то в выражении для  в этом сечении она дает положительное слагаемое.

 

Рис. 6.4

Построение эпюр  и  в балках. 

Рассмотрим двухопорную балку (рис. 6.5, а). На балку действует в точке  сосредоточенный момент , в точке  - сосредоточенная сила  и на участке  - равномерно распределенная нагрузка интенсивностью . 

Определим опорные реакции  и (рис. 6.5, б). Равнодействующая распределенной нагрузки равна , а линия действия ее проходит через центр участка . Составим уравнения моментов относительно точек  и .

 

 

 

 

Определим поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечений, расположенном на участке  на расстоянии  от точки А (рис. 6.5, в). Расстояние  может изменяться в пределах ().

Значение поперечной силы не зависит от координаты сечения , следовательно, во всех сечениях участка  поперечные силы одинаковы и эпюра  имеет вид прямоугольника. Изгибающий момент изменяется по линейному закону Для построения эпюры вычисляем ординаты на границах участка. При : При

Рис. 6.5

Определим поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечений, расположенном на участке  на расстоянии  от точки  (рис. 6.5, г). Расстояние  может изменяться в пределах ().

Значение поперечной силы не зависит от координаты сечения , следовательно, во всех сечениях участка  поперечные силы одинаковы и эпюра  имеет вид прямоугольника. Изгибающий момент

Изгибающий момент изменяется по линейному закону. Определим ординаты эпюры для границ участка.

Определим поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечений, расположенном на участке  на расстоянии  от точки  (рис. 6.5, д). Расстояние  может изменяться в пределах ().

Поперечная сила изменяется по линейному закону. Определим для границ участка.

Изгибающий момент

.

Эпюра изгибающих моментов на этом участке будет параболической.

Чтобы определить экстремальное значение изгибающего момента, приравниваем к нулю производную от изгибающего момента по абсциссе сечения :

Отсюда

Для сечения с координатой  значение изгибающего момента будет составлять

В результате получаем эпюры поперечных сил (рис. 6.5, е) и изгибающих моментов (рис. 6.5, ж).

Дифференциальные зависимости при изгибе.

                                                                                                       (6.11)

                                                                                                   (6.12)

                                                                                                    (6.13)

Эти зависимости позволяют установить некоторые особенности эпюр изгибающих моментов и поперечных сил:

1.             На участках, где нет распределенной нагрузки, эпюры  ограничены прямыми, параллельными нулевой линии эпюры, а эпюры  в общем случае — наклонными прямыми.

2.             На участках, где к балке приложена равномерно распределенная нагрузка , эпюра  ограничена наклонными прямыми, а эпюра  - квадратичными параболами с выпуклостью, обращенной в сторону, противоположную направлению действия нагрузки .

3.             В сечениях, где , касательная к эпюре  параллельна нулевой линии эпюры.

4.             На участках, где , момент  возрастает; на участках, где , момент  убывает.

5.             В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы, на эпюре  будут скачки на величину приложенных сил, а на эпюре  будут переломы.

6.             В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные моменты, на эпюре  будут скачки на величину этих моментов.

7.             Ординаты эпюры  пропорциональны тангенсу угла наклона касательной к эпюре .