Лекция 9. Определение перемещений в упругих системах. Общие понятия

Определение перемещений в упругих системах. Общие понятия

Обобщенные силы и перемещения

Ранее нами были рассмотрены некоторые частные способы определения перемещений, удобные при решении простейших задач.

Начало возможных перемещений и закон сохранения энергии позволили получить другие методы определения перемещений в стержневых системах.

Как известно из теоретической механики, работа постоянной силы clip_image002 на перемещении clip_image004 по ее направлению равна произведению величины силы на указанное перемещение:

clip_image006

В задачах сопротивления материалов и строительной механики внешняя нагрузка отличается большим разнообразием и обычно представляет собой группы сил. Выражение для работы группы постоянных сил также можно представить в виде произведения двух величин

clip_image008, (2.2.1)
в котором множитель clip_image002[1] зависит только от сил группы и называется обобщенной силой, а clip_image010 зависит от перемещений и называется обобщенным перемещением.

Таким образом, под обобщенной силой будем понимать любую нагрузку (сосредоточенные силы, сосредоточенные пары, распределенную нагрузку), а под обобщенным перемещением — тот вид перемещения, на котором обобщенная сила производит работу.

Рассмотрим некоторые примеры часто встречающихся обобщенных сил и обобщенных перемещений.

1. На рис. 2.2.1 показана обобщенная сила, состоящая из двух равных по величине противоположных сил clip_image002[2], приложенных в точках clip_image012 и clip_image014 и направленных по одной прямой. Предположим. Что точки приложения сил clip_image012[1] и clip_image014[1] переместились в направлении clip_image016 на отрезки clip_image018 и clip_image020. Очевидно, работа системы постоянных сил на этих перемещениях

clip_image022, (2.2.2)

где clip_image024 — изменение расстояния clip_image026 между точками приложения сил.

clip_image028

Рис. 2.2.1

Следовательно, clip_image002[3] в данном случае — обобщенная сила, а изменение clip_image031 длины отрезка clip_image033 — обобщенное перемещение.

2. Пусть группа сил состоит из двух пар сил, момент каждой из которых clip_image035 (рис. 2.2.2). Допустим, что элемент clip_image033[1] повернулся на угол clip_image037, а элемент clip_image039 на угол clip_image041.

clip_image043

Рис. 2.2.2

Легко убедиться, что обобщенной силой является момент пары clip_image045, а обобщенным перемещением — изменение угла clip_image047 между элементами clip_image033[2] и clip_image039[1]:

clip_image049

Рассматривая достаточно жесткие конструкции, деформации которых следуют закону Гука, можно на основании принципа независимости действия сил определить полные перемещения точек как сумму перемещений, вызванных отдельными нагрузками.

clip_image051

Рис. 2.2.3

Для показанной на рис. 2.2.3 балки прогиб и угол поворота сечения clip_image014[2] можно записать в виде

clip_image053 (2.2.3)

где clip_image010[1] — полное перемещение сечения clip_image014[3] в направлении действия силы clip_image002[4];

clip_image057 — перемещение сечения clip_image014[4] в направлении действия силы clip_image002[5] от действия силы clip_image002[6];

clip_image060 — перемещение сечения clip_image014[5] в направлении действия силы clip_image002[7] от действия силы clip_image062;

clip_image064 — перемещение сечения clip_image014[6] в направлении действия силы clip_image002[8] от действия момента clip_image045[1];

clip_image066 — полное перемещение сечения clip_image014[7] по направлению пары clip_image045[2] (угол поворота).

clip_image069 — перемещение сечения clip_image014[8] в направлении действия пары clip_image045[3] от действия силы clip_image002[9];

clip_image071 — перемещение сечения clip_image014[9] в направлении действия пары clip_image045[4] от действия силы clip_image062[1];

clip_image073 — перемещение сечения clip_image014[10] в направлении действия пары clip_image045[5] от действия пары clip_image045[6];

Перемещение, вызванное единичной силой (clip_image075) или единичной парой (clip_image077), будем обозначать буквой clip_image079 и называть удельным. При этом условимся считать единичные силы и единичные пары, вызывающие перемещения clip_image079[1], безразмерными.

Если единичная сила clip_image075[1] вызвала удельное перемещение clip_image081, то на основании принципа независимости действия сил полное перемещение, вызванное силой clip_image002[10],

clip_image083 (2.2.4)

Вы здесь: Главная Сопромат Сопромат Лекция 9. Определение перемещений в упругих системах. Общие понятия