Лекции для студентов

Электричество и магнетизм. Часть 4

Лекция 17

Общие свойства и характеристики волновых процессов.

5.5. Волновое уравнение. Типы и характеристики волн.

Процесс распространения колебаний в пространстве называется волновым процессом или просто волной. Волны различной природы (звуковые, упругие, электромагнитные) описываются сходными дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка по пространственно-временным переменным. Уравнение, описывающее волновой процесс, называется волновым уравнением, функция, которая удовлетворяет этому уравнению — волновой функцией.

Волны бывают скалярные (давление в звуковой волне, плотность заряда в плазме) и векторные (упругие волны в кристаллах, электромагнитные волны). Если направление колебаний в волне совпадает с направлением ее распространения, то такая волна называется продольной; если колебания происходят в направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны — поперечной. Направление колебаний определяет поляризацию волны.

Волновое уравнение, описывающее скалярную волну ξ =ξ(x,y,z,t), имеет вид:

,

где  — оператор Лапласа.

В случае, когда волновая функция зависит только от одной пространственной координаты (скажем, х), вдоль направления которой распространяется волна, решением волнового уравнения является функция:

.

Постоянная а называется амплитудой волны, она показывает максимальное значение колеблющейся величины. Выражение, стоящее в скобках под знаком косинуса, называется фазой волны; ω – угловая частота; k — волновое число.

Из приведенного выражения видно, что в каждой данной точке пространства х = х₀ колебания происходят по гармоническому закону:

ξ(t) = a cos(ωt + φ), φ = α — kx₀ .

Волна, в которой колебания происходят по гармоническому закону, называется монохроматической.

Скорость распространения волны , входящая в волновое уравнение, есть скорость перемещения в пространстве фиксированного значения фазы волны, в связи с чем ее называют фазовой скоростью. Эту скорость легко определить, взяв дифференциал от произвольного постоянного значения фазы ωt — kx+ α = const. После чего находим:

Угловая частота ω связана с периодом волны Т:

.

Волновое число k связано с длиной волны λ:

.

Используя эти соотношения, можем cвязать фазовую скорость волны с ее длиной λ и периодом Т:

Отсюда следует, что длина волны — это расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе (рис.17.1).

Рис.17.1. Графическое изображение волнового процесса.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. От волновой поверхности следует отличать волновой фронт (или фронт волны) — геометрическое место точек, до которых доходят колебания к данному моменту времени t. Волновой фронт представляет собой поверхность, которая отделяет область пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, так называемую волновую зону, от той части пространства, куда колебания еще не дошли.

Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства внутри волновой зоны. Следовательно, волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт в каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются неподвижными, волновой фронт все время перемещается в пространстве со скоростью, равной фазовой скорости волны .

Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости, цилиндра или сферы. В плоской волне волновые поверхности представляют собой систему параллельных друг другу плоскостей, в цилиндрической волне — систему коаксиальных цилиндров, в сферической волне — систему концентрических сфер. Уравнения перечисленных типов волн имеют соответственно вид:

 — плоская волна;

 — цилиндрическая волна;

 — сферическая волна,

где  — радиус-вектор произвольной точки волновой поверхности;  — волновой вектор,  — единичный вектор волновой нормали, совпадающей с направлением вектора фазовой скорости .

Видим, что амплитуда цилиндрической волны убывает с расстоянием как , а сферической — как .

В общем случае решение волнового уравнения представляет собой суперпозицию двух волн (скалярных или векторных), распространяющихся в противоположных направлениях:

,

где f₁ и f₂ — произвольные функции.